Lektion 1.4

Untergruppen

18 min Lesezeit

Bisher haben wir einzelne Gruppen betrachtet. Jetzt wenden wir uns einer natürlichen Frage zu: Kann es innerhalb einer Gruppe "kleinere Gruppen" geben?

Die Antwort ist ja – und diese Strukturen sind so wichtig, dass sie einen eigenen Namen verdienen: Untergruppen.

Warum sind Untergruppen nützlich? Stell dir eine große, komplexe Gruppe vor. Um sie zu verstehen, ist es hilfreich, ihre innere Struktur zu analysieren – ähnlich wie ein Ingenieur ein komplexes System in Komponenten zerlegt. Untergruppen sind solche Komponenten.

Wir werden sehen, dass Untergruppen nicht nur theoretisch interessant sind, sondern auch praktische Konsequenzen haben. Der berühmte Satz von Lagrange, den wir am Ende kennenlernen werden, schränkt zum Beispiel ein, welche Untergruppen überhaupt existieren können.

Definition

Untergruppe

Sei (G,∗)(G, *) eine Gruppe. Eine Teilmenge H⊆GH \subseteq G heißt Untergruppe von GG, wenn (H,∗)(H, *) selbst eine Gruppe ist – wobei ∗* auf HH dieselbe Verknüpfung ist, nur eingeschränkt auf Elemente aus HH.

Was muss dafür gelten? Wir gehen die Gruppenaxiome durch:

Abgeschlossenheit: Wenn wir zwei Elemente aus HH verknüpfen, muss das Ergebnis wieder in HH liegen. Formal: Für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H gilt h1∗h2∈Hh_1 * h_2 \in H.

Assoziativität: Diese erbt HH automatisch von GG – wenn die Verknüpfung in GG assoziativ ist, ist sie es auch auf der Teilmenge HH.

Neutrales Element: Es muss ein neutrales Element in HH geben. Es stellt sich heraus, dass dies genau das neutrale Element eGe_G von GG sein muss. (Übung: Warum kann HH kein anderes neutrales Element haben?)

Inverse: Zu jedem Element h∈Hh \in H muss auch das Inverse h−1h^{-1} in HH liegen.

H≤G  :⇔  (H,∗∣H×H) ist GruppeH \leq G \; :\Leftrightarrow \; (H, *|_{H \times H}) \text{ ist Gruppe}

Du fragst dich vielleicht: Muss ich all diese Bedingungen einzeln prüfen? Die gute Nachricht ist nein – es gibt ein elegantes Kriterium, das die Arbeit erheblich vereinfacht.

Definition

Untergruppenkriterium

Eine nicht-leere Teilmenge H⊆GH \subseteq G ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

Für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H ist auch h1∗h2−1∈Hh_1 * h_2^{-1} \in H.

Das ist alles! Diese eine Bedingung (zusammen mit H≠∅H \neq \emptyset) garantiert alle Gruppenaxiome.

Warum funktioniert das?

Schritt 1: Wähle ein beliebiges h∈Hh \in H (möglich, da H≠∅H \neq \emptyset). Dann ist h∗h−1=eG∈Hh * h^{-1} = e_G \in H. Also enthält HH das neutrale Element.

Schritt 2: Für jedes h∈Hh \in H gilt: eG∗h−1=h−1∈He_G * h^{-1} = h^{-1} \in H. Also enthält HH alle Inversen.

Schritt 3: Für h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H wissen wir, dass h2−1∈Hh_2^{-1} \in H. Dann ist (h2−1)−1=h2∈H(h_2^{-1})^{-1} = h_2 \in H und somit h1∗h2=h1∗(h2−1)−1∈Hh_1 * h_2 = h_1 * (h_2^{-1})^{-1} \in H. Also ist HH abgeschlossen.

H≤G  ⇔  H≠∅  ∧  ∀h1,h2∈H:h1∗h2−1∈HH \leq G \;\Leftrightarrow\; H \neq \emptyset \;\land\; \forall h_1, h_2 \in H: h_1 * h_2^{-1} \in H
Beispiel

Die Untergruppen von (Z,+)(\mathbb{Z}, +)

Welche Untergruppen hat die additive Gruppe der ganzen Zahlen?

Betrachten wir zunächst einige Kandidaten:

Die Menge der geraden Zahlen: 2Z={…,−4,−2,0,2,4,…}2\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}. Ist dies eine Untergruppe? Prüfen wir das Kriterium: Für a,b∈2Za, b \in 2\mathbb{Z} ist a−ba - b auch gerade. Also ja!

Die Menge der Vielfachen von 3: 3Z={…,−6,−3,0,3,6,…}3\mathbb{Z} = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}. Für a,b∈3Za, b \in 3\mathbb{Z} ist a−ba - b ein Vielfaches von 3. Also auch eine Untergruppe!

Allgemeiner gilt: Für jede natürliche Zahl n≥0n \geq 0 ist die Menge nZ={nk∣k∈Z}n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} eine Untergruppe von Z\mathbb{Z}.

Und hier kommt das Bemerkenswerte: Dies sind bereits ALLE Untergruppen von Z\mathbb{Z}!

Beweisskizze: Sei H≤ZH \leq \mathbb{Z} eine Untergruppe. Falls H={0}H = \{0\}, dann H=0ZH = 0\mathbb{Z}. Sonst enthält HH positive Zahlen (da mit hh auch −h-h in HH liegt). Sei nn die kleinste positive Zahl in HH. Man zeigt: H=nZH = n\mathbb{Z}.

nZ≤Z fu¨r alle n≥0n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \text{ für alle } n \geq 0
Beispiel

Durchschnitt von Untergruppen

Eine nützliche Beobachtung: Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Seien UiU_i für i∈Ii \in I Untergruppen von GG. Wir zeigen ⋂i∈IUi≤G\bigcap_{i \in I} U_i \leq G mit dem Untergruppenkriterium.

Zunächst ist der Durchschnitt nicht leer, denn eGe_G liegt in jeder Untergruppe UiU_i, also auch im Durchschnitt.

Seien nun h1,h2h_1, h_2 im Durchschnitt. Dann liegen h1h_1 und h2h_2 in jeder Untergruppe UiU_i. Da jedes UiU_i eine Untergruppe ist, gilt h1h2−1∈Uih_1 h_2^{-1} \in U_i für alle ii. Also liegt h1h2−1h_1 h_2^{-1} im Durchschnitt.

Diese Eigenschaft ist fundamental: Sie erlaubt uns, die "kleinste Untergruppe" zu definieren, die eine gegebene Menge enthält.

∀i∈I:Ui≤G  ⇒  ⋂i∈IUi≤G\forall i \in I: U_i \leq G \;\Rightarrow\; \bigcap_{i \in I} U_i \leq G
Definition

Erzeugnis einer Menge

Für eine Teilmenge M⊆GM \subseteq G ist das Erzeugnis ⟨M⟩\langle M \rangle definiert als die kleinste Untergruppe von GG, die MM enthält.

Formal ist dies der Durchschnitt aller Untergruppen, die MM enthalten:

⟨M⟩=⋂M⊆U≤GU\langle M \rangle = \bigcap_{M \subseteq U \leq G} U

Für ein einzelnes Element a∈Ga \in G besteht ⟨a⟩\langle a \rangle aus allen Potenzen von aa:

In multiplikativer Notation: ⟨a⟩={ak∣k∈Z}={…,a−2,a−1,e,a,a2,…}\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \ldots\}

In additiver Notation: ⟨a⟩={ka∣k∈Z}\langle a \rangle = \{ka \mid k \in \mathbb{Z}\}

⟨a⟩={ak∣k∈Z}\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}
Definition

Zyklische Gruppe

Eine Gruppe GG heißt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird – wenn es also ein a∈Ga \in G gibt mit G=⟨a⟩G = \langle a \rangle.

Das Element aa heißt dann Erzeuger (oder primitives Element) von GG.

Zyklische Gruppen sind die "einfachsten" Gruppen: Ihre Struktur ist vollständig durch ein einziges Element bestimmt.

Beispiel

Beispiele zyklischer Gruppen

Die additiven ganzen Zahlen (Z,+)(\mathbb{Z}, +) sind zyklisch, erzeugt von 11:

⟨1⟩={…,−2,−1,0,1,2,…}=Z\langle 1 \rangle = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} = \mathbb{Z}

Auch −1-1 ist ein Erzeuger: ⟨−1⟩=Z\langle -1 \rangle = \mathbb{Z}.

Die nn-Uhrengruppe (Zahlen 0,1,…,n−10, 1, \ldots, n-1 mit zyklischer Addition) ist ebenfalls zyklisch, erzeugt von 11. Nach nn-maliger Addition von 11 sind wir wieder bei 00.

Die Gruppe der vierten Einheitswurzeln {1,i,−1,−i}\{1, i, -1, -i\} ist zyklisch, erzeugt von ii:

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1

Zusammenfassung

  • Eine Untergruppe H≤GH \leq G ist eine Teilmenge, die selbst eine Gruppe bildet

  • Untergruppenkriterium: H≠∅H \neq \emptyset und h1h2−1∈Hh_1 h_2^{-1} \in H für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H

  • Die Untergruppen von Z\mathbb{Z} sind genau die Mengen nZn\mathbb{Z} für n≥0n \geq 0

  • Das Erzeugnis ⟨M⟩\langle M \rangle ist die kleinste Untergruppe, die MM enthält

  • Zyklische Gruppen werden von einem einzigen Element erzeugt

  • Satz von Lagrange: Die Ordnung jeder Untergruppe teilt die Gruppenordnung

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche der folgenden Mengen ist KEINE Untergruppe von (Z,+)(\mathbb{Z}, +)?

Aufgabe 2Freitext

Beweise das Untergruppenkriterium: Zeige, dass die Bedingungen "H≠∅H \neq \emptyset und h1h2−1∈Hh_1 h_2^{-1} \in H" tatsächlich garantieren, dass HH eine Untergruppe ist.

Lektion 1.4 · Gruppen
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Untergruppen

Bisher haben wir einzelne Gruppen betrachtet. Jetzt wenden wir uns einer natürlichen Frage zu: Kann es innerhalb einer Gruppe "kleinere Gruppen" geben?

Die Antwort ist ja – und diese Strukturen sind so wichtig, dass sie einen eigenen Namen verdienen: Untergruppen.

Warum sind Untergruppen nützlich? Stell dir eine große, komplexe Gruppe vor. Um sie zu verstehen, ist es hilfreich, ihre innere Struktur zu analysieren – ähnlich wie ein Ingenieur ein komplexes System in Komponenten zerlegt. Untergruppen sind solche Komponenten.

Wir werden sehen, dass Untergruppen nicht nur theoretisch interessant sind, sondern auch praktische Konsequenzen haben. Der berühmte Satz von Lagrange, den wir am Ende kennenlernen werden, schränkt zum Beispiel ein, welche Untergruppen überhaupt existieren können.

Definition

Untergruppe

Sei (G,∗)(G, *) eine Gruppe. Eine Teilmenge H⊆GH \subseteq G heißt Untergruppe von GG, wenn (H,∗)(H, *) selbst eine Gruppe ist – wobei ∗* auf HH dieselbe Verknüpfung ist, nur eingeschränkt auf Elemente aus HH.

Was muss dafür gelten? Wir gehen die Gruppenaxiome durch:

Abgeschlossenheit: Wenn wir zwei Elemente aus HH verknüpfen, muss das Ergebnis wieder in HH liegen. Formal: Für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H gilt h1∗h2∈Hh_1 * h_2 \in H.

Assoziativität: Diese erbt HH automatisch von GG – wenn die Verknüpfung in GG assoziativ ist, ist sie es auch auf der Teilmenge HH.

Neutrales Element: Es muss ein neutrales Element in HH geben. Es stellt sich heraus, dass dies genau das neutrale Element eGe_G von GG sein muss. (Übung: Warum kann HH kein anderes neutrales Element haben?)

Inverse: Zu jedem Element h∈Hh \in H muss auch das Inverse h−1h^{-1} in HH liegen.

H≤G  :⇔  (H,∗∣H×H) ist GruppeH \leq G \; :\Leftrightarrow \; (H, *|_{H \times H}) \text{ ist Gruppe}

Du fragst dich vielleicht: Muss ich all diese Bedingungen einzeln prüfen? Die gute Nachricht ist nein – es gibt ein elegantes Kriterium, das die Arbeit erheblich vereinfacht.

Definition

Untergruppenkriterium

Eine nicht-leere Teilmenge H⊆GH \subseteq G ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

Für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H ist auch h1∗h2−1∈Hh_1 * h_2^{-1} \in H.

Das ist alles! Diese eine Bedingung (zusammen mit H≠∅H \neq \emptyset) garantiert alle Gruppenaxiome.

Warum funktioniert das?

Schritt 1: Wähle ein beliebiges h∈Hh \in H (möglich, da H≠∅H \neq \emptyset). Dann ist h∗h−1=eG∈Hh * h^{-1} = e_G \in H. Also enthält HH das neutrale Element.

Schritt 2: Für jedes h∈Hh \in H gilt: eG∗h−1=h−1∈He_G * h^{-1} = h^{-1} \in H. Also enthält HH alle Inversen.

Schritt 3: Für h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H wissen wir, dass h2−1∈Hh_2^{-1} \in H. Dann ist (h2−1)−1=h2∈H(h_2^{-1})^{-1} = h_2 \in H und somit h1∗h2=h1∗(h2−1)−1∈Hh_1 * h_2 = h_1 * (h_2^{-1})^{-1} \in H. Also ist HH abgeschlossen.

H≤G  ⇔  H≠∅  ∧  ∀h1,h2∈H:h1∗h2−1∈HH \leq G \;\Leftrightarrow\; H \neq \emptyset \;\land\; \forall h_1, h_2 \in H: h_1 * h_2^{-1} \in H
Beispiel

Die Untergruppen von (Z,+)(\mathbb{Z}, +)

Welche Untergruppen hat die additive Gruppe der ganzen Zahlen?

Betrachten wir zunächst einige Kandidaten:

Die Menge der geraden Zahlen: 2Z={…,−4,−2,0,2,4,…}2\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}. Ist dies eine Untergruppe? Prüfen wir das Kriterium: Für a,b∈2Za, b \in 2\mathbb{Z} ist a−ba - b auch gerade. Also ja!

Die Menge der Vielfachen von 3: 3Z={…,−6,−3,0,3,6,…}3\mathbb{Z} = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}. Für a,b∈3Za, b \in 3\mathbb{Z} ist a−ba - b ein Vielfaches von 3. Also auch eine Untergruppe!

Allgemeiner gilt: Für jede natürliche Zahl n≥0n \geq 0 ist die Menge nZ={nk∣k∈Z}n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} eine Untergruppe von Z\mathbb{Z}.

Und hier kommt das Bemerkenswerte: Dies sind bereits ALLE Untergruppen von Z\mathbb{Z}!

Beweisskizze: Sei H≤ZH \leq \mathbb{Z} eine Untergruppe. Falls H={0}H = \{0\}, dann H=0ZH = 0\mathbb{Z}. Sonst enthält HH positive Zahlen (da mit hh auch −h-h in HH liegt). Sei nn die kleinste positive Zahl in HH. Man zeigt: H=nZH = n\mathbb{Z}.

nZ≤Z fu¨r alle n≥0n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \text{ für alle } n \geq 0
Beispiel

Durchschnitt von Untergruppen

Eine nützliche Beobachtung: Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Seien UiU_i für i∈Ii \in I Untergruppen von GG. Wir zeigen ⋂i∈IUi≤G\bigcap_{i \in I} U_i \leq G mit dem Untergruppenkriterium.

Zunächst ist der Durchschnitt nicht leer, denn eGe_G liegt in jeder Untergruppe UiU_i, also auch im Durchschnitt.

Seien nun h1,h2h_1, h_2 im Durchschnitt. Dann liegen h1h_1 und h2h_2 in jeder Untergruppe UiU_i. Da jedes UiU_i eine Untergruppe ist, gilt h1h2−1∈Uih_1 h_2^{-1} \in U_i für alle ii. Also liegt h1h2−1h_1 h_2^{-1} im Durchschnitt.

Diese Eigenschaft ist fundamental: Sie erlaubt uns, die "kleinste Untergruppe" zu definieren, die eine gegebene Menge enthält.

∀i∈I:Ui≤G  ⇒  ⋂i∈IUi≤G\forall i \in I: U_i \leq G \;\Rightarrow\; \bigcap_{i \in I} U_i \leq G
Definition

Erzeugnis einer Menge

Für eine Teilmenge M⊆GM \subseteq G ist das Erzeugnis ⟨M⟩\langle M \rangle definiert als die kleinste Untergruppe von GG, die MM enthält.

Formal ist dies der Durchschnitt aller Untergruppen, die MM enthalten:

⟨M⟩=⋂M⊆U≤GU\langle M \rangle = \bigcap_{M \subseteq U \leq G} U

Für ein einzelnes Element a∈Ga \in G besteht ⟨a⟩\langle a \rangle aus allen Potenzen von aa:

In multiplikativer Notation: ⟨a⟩={ak∣k∈Z}={…,a−2,a−1,e,a,a2,…}\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \ldots\}

In additiver Notation: ⟨a⟩={ka∣k∈Z}\langle a \rangle = \{ka \mid k \in \mathbb{Z}\}

⟨a⟩={ak∣k∈Z}\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}
Definition

Zyklische Gruppe

Eine Gruppe GG heißt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird – wenn es also ein a∈Ga \in G gibt mit G=⟨a⟩G = \langle a \rangle.

Das Element aa heißt dann Erzeuger (oder primitives Element) von GG.

Zyklische Gruppen sind die "einfachsten" Gruppen: Ihre Struktur ist vollständig durch ein einziges Element bestimmt.

Beispiel

Beispiele zyklischer Gruppen

Die additiven ganzen Zahlen (Z,+)(\mathbb{Z}, +) sind zyklisch, erzeugt von 11:

⟨1⟩={…,−2,−1,0,1,2,…}=Z\langle 1 \rangle = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} = \mathbb{Z}

Auch −1-1 ist ein Erzeuger: ⟨−1⟩=Z\langle -1 \rangle = \mathbb{Z}.

Die nn-Uhrengruppe (Zahlen 0,1,…,n−10, 1, \ldots, n-1 mit zyklischer Addition) ist ebenfalls zyklisch, erzeugt von 11. Nach nn-maliger Addition von 11 sind wir wieder bei 00.

Die Gruppe der vierten Einheitswurzeln {1,i,−1,−i}\{1, i, -1, -i\} ist zyklisch, erzeugt von ii:

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1

Zusammenfassung

  • Eine Untergruppe H≤GH \leq G ist eine Teilmenge, die selbst eine Gruppe bildet

  • Untergruppenkriterium: H≠∅H \neq \emptyset und h1h2−1∈Hh_1 h_2^{-1} \in H für alle h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H

  • Die Untergruppen von Z\mathbb{Z} sind genau die Mengen nZn\mathbb{Z} für n≥0n \geq 0

  • Das Erzeugnis ⟨M⟩\langle M \rangle ist die kleinste Untergruppe, die MM enthält

  • Zyklische Gruppen werden von einem einzigen Element erzeugt

  • Satz von Lagrange: Die Ordnung jeder Untergruppe teilt die Gruppenordnung

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