Lektion 1.2

Definition einer Gruppe

20 min Lesezeit

In der vorherigen Lektion haben wir ein gemeinsames Muster in verschiedenen mathematischen Situationen entdeckt: Zahlen mit Addition, Uhrzeiten mit zyklischer Addition, Symmetrien mit Hintereinanderausführung.

Jetzt wollen wir dieses Muster präzise fassen. Unser Ziel ist eine Definition, die:

Allgemein genug ist, um alle unsere Beispiele zu erfassen – nicht nur Zahlen, sondern auch Symmetrien, Matrizen und viele andere Strukturen.

Präzise genug ist, um mathematische Beweise zu ermöglichen. Vage Formulierungen wie "funktioniert nach demselben Prinzip" reichen nicht aus.

Die richtigen Eigenschaften fordert – nicht zu viele (sonst fallen interessante Beispiele raus), nicht zu wenige (sonst können wir nichts beweisen).

Wir werden schrittweise vorgehen: Erst klären wir, was eine "Verknüpfung" ist, dann welche Eigenschaften wir fordern, und warum gerade diese.

Definition

Verknüpfung

Bevor wir zur Hauptdefinition kommen, brauchen wir einen Grundbegriff. Was bedeutet es eigentlich, zwei Elemente "zu verknüpfen"?

Sei $M$ eine Menge. Eine Verknüpfung auf $M$ ist eine Abbildung, die je zwei Elementen aus $M$ ein eindeutiges Element aus $M$ zuordnet.

Anstelle der umständlichen Schreibweise $*(m_1, m_2)$ schreibt man übersichtlicher $m_1 * m_2$ .

Warum diese Definition? Wir wollen Addition, Multiplikation, Komposition und ähnliche Operationen unter einen Hut bringen. All diese "nehmen zwei Objekte und machen daraus ein drittes".

* : M \times M \to M, \quad (m_1, m_2) \mapsto m_1 * m_2

Nun haben wir also eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung $*$ . Welche zusätzlichen Eigenschaften sollte diese Struktur haben, um "nützlich" zu sein?

Kehren wir zu unseren Beispielen zurück und überlegen, welche Eigenschaften dort auftraten:

Eigenschaft 1: Die Reihenfolge beim Klammern spielte keine Rolle – $(2+3)+4 = 2+(3+4)$ .

Eigenschaft 2: Es gab ein "neutrales" Element, das nichts verändert – Addition von 0.

Eigenschaft 3: Jedes Element hatte ein "Gegenstück", das zusammen das neutrale Element ergibt – jede Zahl hat ihre Gegenzahl.

Diese drei Eigenschaften werden wir als Axiome fordern. Ein Axiom ist eine grundlegende Forderung, die wir stellen – nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt.

Definition

Assoziativität

Die erste wichtige Eigenschaft einer Verknüpfung ist die Assoziativität.

Eine Verknüpfung $*$ auf $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $m_1, m_2, m_3 \in M$ gilt:

$(m_1 * m_2) * m_3 = m_1 * (m_2 * m_3)$

Was bedeutet das intuitiv? Wenn wir drei Elemente verknüpfen wollen, ist es egal, ob wir zuerst die ersten beiden verknüpfen und dann das Ergebnis mit dem dritten, oder ob wir zuerst die letzten beiden verknüpfen und dann das erste mit diesem Ergebnis. Das Endergebnis ist gleich.

Warum ist das wichtig? Ohne Assoziativität müssten wir bei jeder Rechnung genau auf die Klammersetzung achten. Mit Assoziativität können wir Klammern einfach weglassen und $m_1 * m_2 * m_3$ schreiben.

(m_1 * m_2) * m_3 = m_1 * (m_2 * m_3)

Beispiel

Assoziativität in der Praxis

Addition auf $\mathbb{Z}$ : $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ und $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ . Gleiches Ergebnis – die Addition ist assoziativ.

Subtraktion auf $\mathbb{Z}$ : Hier sieht es anders aus! $(7 - 3) - 2 = 4 - 2 = 2$ , aber $7 - (3 - 2) = 7 - 1 = 6$ . Unterschiedliche Ergebnisse!

Die Subtraktion ist also nicht assoziativ. Dies ist ein erstes Warnsignal, dass die Subtraktion "schlechte" Eigenschaften hat.

Jetzt sind wir bereit für die zentrale Definition. Wir haben alle Bausteine:
- Eine Menge $M$
- Eine Verknüpfung $*$ auf $M$
- Drei Eigenschaften, die wir fordern werden

Eine Struktur, die all diese Eigenschaften erfüllt, nennen wir eine Gruppe. Diese Definition ist einer der wichtigsten Begriffe der gesamten Algebra.

Definition

Gruppe

Sei $M$ eine Menge und $*$ eine Verknüpfung auf $M$ . Das Paar $(M, *)$ heißt Gruppe, wenn die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

(G1) Assoziativität: Die Verknüpfung $*$ ist assoziativ, d.h. für alle $a, b, c \in M$ gilt $(a * b) * c = a * (b * c)$ .

(G2) Neutrales Element: Es existiert ein Element $e \in M$ , sodass für alle $x \in M$ gilt: $e * x = x * e = x$ . Dieses $e$ verändert nichts, wenn man es mit $x$ verknüpft.

(G3) Inverses Element: Zu jedem $x \in M$ existiert ein $y \in M$ mit: $x * y = y * x = e$ . Das Element $y$ "macht die Wirkung von $x$ rückgängig" – zusammen ergeben sie das neutrale Element.

\begin{aligned} \textbf{(G1)} \quad & \forall a,b,c \in M: (a * b) * c = a * (b * c) \\[0.5em] \textbf{(G2)} \quad & \exists e \in M \; \forall x \in M: e * x = x * e = x \\[0.5em] \textbf{(G3)} \quad & \forall x \in M \; \exists y \in M: x * y = y * x = e \end{aligned}

Beispiel

Warum $(\mathbb{Z}, -)$ keine Gruppe ist

Jetzt können wir die Frage beantworten: Bilden die ganzen Zahlen mit Subtraktion eine Gruppe?

Wir prüfen die Axiome:

(G1) Assoziativität? Nein! Wir haben bereits gesehen: $(7 - 3) - 2 \neq 7 - (3 - 2)$ .

Damit ist $(\mathbb{Z}, -)$ definitiv keine Gruppe. Die Subtraktion erfüllt nicht einmal das erste Axiom.

Dies erklärt auch, warum die Subtraktion in der Mathematik oft als "abgeleitete Operation" behandelt wird: $a - b = a + (-b)$ . Die Addition ist die "gute" Operation, die Subtraktion nur eine Abkürzung.

Ein wichtiges Resultat ergibt sich direkt aus den Axiomen: Das neutrale Element und die Inversen sind eindeutig bestimmt.

Eindeutigkeit des neutralen Elements: Seien $e$ und $\tilde{e}$ beide neutral. Dann gilt:
$e = e * \tilde{e} = \tilde{e}$
(Das erste Gleichheitszeichen nutzt, dass $\tilde{e}$ neutral ist; das zweite, dass $e$ neutral ist.)

Eindeutigkeit des Inversen: Seien $y$ und $\tilde{y}$ beide invers zu $x$ . Dann:
$y = y * e = y * (x * \tilde{y}) = (y * x) * \tilde{y} = e * \tilde{y} = \tilde{y}$

Deshalb können wir von DEM neutralen Element und DEM Inversen sprechen.

Zur Notation:

In der multiplikativen Schreibweise schreibt man:
- $m_1 \cdot m_2$ oder einfach $m_1 m_2$ für die Verknüpfung
- $e$ oder $1$ für das neutrale Element
- $x^{-1}$ für das Inverse zu $x$

In der additiven Schreibweise (meist bei kommutativen Gruppen):
- $m_1 + m_2$ für die Verknüpfung
- $0$ für das neutrale Element
- $-x$ für das Inverse zu $x$

Die Wahl der Notation ändert nichts an der Mathematik – sie signalisiert nur, welche "Art" von Verknüpfung gemeint ist.

Definition

Abelsche Gruppe

Manchmal erfüllt eine Gruppe eine zusätzliche, vierte Eigenschaft:

Eine Gruppe $(G, *)$ heißt abelsch (oder kommutativ), wenn zusätzlich zu (G1)–(G3) gilt:

(G4) Kommutativität: Für alle $a, b \in G$ gilt $a * b = b * a$ .

Der Name ehrt den norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829).

Beispiele: $(\mathbb{Z}, +)$ ist abelsch, denn $a + b = b + a$ .

Gegenbeispiel: Die Symmetriegruppe eines Quadrats ist nicht abelsch – die Reihenfolge von Spiegelungen und Drehungen kann das Ergebnis ändern.

\forall a, b \in G: a * b = b * a

Zusammenfassung

Eine Verknüpfung ordnet zwei Elementen einer Menge ein drittes zu (Abgeschlossenheit)
Eine Gruppe $(M, *)$ erfüllt drei Axiome: Assoziativität, neutrales Element, Inverse
Das neutrale Element und die Inversen sind jeweils eindeutig bestimmt
Multiplikative Notation: $xy$ , $e$ , $x^{-1}$ – Additive Notation: $x+y$ , $0$ , $-x$
Abelsche Gruppen sind zusätzlich kommutativ

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welches der folgenden Paare $(M, *)$ ist KEINE Gruppe?

$(\mathbb{Z}, +)$ – die ganzen Zahlen mit Addition

$(\mathbb{N}, +)$ – die natürlichen Zahlen mit Addition

$(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ – rationale Zahlen ohne 0 mit Multiplikation

$(\{1, -1\}, \cdot)$ – mit Multiplikation

Aufgabe 2Freitext

Beweise, dass das inverse Element in einer Gruppe eindeutig bestimmt ist.

Lektion 1.2 · Gruppen

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Definition einer Gruppe

Jetzt wollen wir dieses Muster präzise fassen. Unser Ziel ist eine Definition, die:

Allgemein genug ist, um alle unsere Beispiele zu erfassen – nicht nur Zahlen, sondern auch Symmetrien, Matrizen und viele andere Strukturen.

Präzise genug ist, um mathematische Beweise zu ermöglichen. Vage Formulierungen wie "funktioniert nach demselben Prinzip" reichen nicht aus.

Die richtigen Eigenschaften fordert – nicht zu viele (sonst fallen interessante Beispiele raus), nicht zu wenige (sonst können wir nichts beweisen).

Wir werden schrittweise vorgehen: Erst klären wir, was eine "Verknüpfung" ist, dann welche Eigenschaften wir fordern, und warum gerade diese.

Definition

Verknüpfung

Bevor wir zur Hauptdefinition kommen, brauchen wir einen Grundbegriff. Was bedeutet es eigentlich, zwei Elemente "zu verknüpfen"?

Sei $M$ eine Menge. Eine Verknüpfung auf $M$ ist eine Abbildung, die je zwei Elementen aus $M$ ein eindeutiges Element aus $M$ zuordnet.

Anstelle der umständlichen Schreibweise $*(m_1, m_2)$ schreibt man übersichtlicher $m_1 * m_2$ .

Warum diese Definition? Wir wollen Addition, Multiplikation, Komposition und ähnliche Operationen unter einen Hut bringen. All diese "nehmen zwei Objekte und machen daraus ein drittes".

* : M \times M \to M, \quad (m_1, m_2) \mapsto m_1 * m_2

Nun haben wir also eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung $*$ . Welche zusätzlichen Eigenschaften sollte diese Struktur haben, um "nützlich" zu sein?

Kehren wir zu unseren Beispielen zurück und überlegen, welche Eigenschaften dort auftraten:

Eigenschaft 1: Die Reihenfolge beim Klammern spielte keine Rolle – $(2+3)+4 = 2+(3+4)$ .

Eigenschaft 2: Es gab ein "neutrales" Element, das nichts verändert – Addition von 0.

Eigenschaft 3: Jedes Element hatte ein "Gegenstück", das zusammen das neutrale Element ergibt – jede Zahl hat ihre Gegenzahl.

Diese drei Eigenschaften werden wir als Axiome fordern. Ein Axiom ist eine grundlegende Forderung, die wir stellen – nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt.

Definition

Assoziativität

Die erste wichtige Eigenschaft einer Verknüpfung ist die Assoziativität.

Eine Verknüpfung $*$ auf $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $m_1, m_2, m_3 \in M$ gilt:

$(m_1 * m_2) * m_3 = m_1 * (m_2 * m_3)$

(m_1 * m_2) * m_3 = m_1 * (m_2 * m_3)

Beispiel

Assoziativität in der Praxis

Addition auf $\mathbb{Z}$ : $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ und $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ . Gleiches Ergebnis – die Addition ist assoziativ.

Subtraktion auf $\mathbb{Z}$ : Hier sieht es anders aus! $(7 - 3) - 2 = 4 - 2 = 2$ , aber $7 - (3 - 2) = 7 - 1 = 6$ . Unterschiedliche Ergebnisse!

Die Subtraktion ist also nicht assoziativ. Dies ist ein erstes Warnsignal, dass die Subtraktion "schlechte" Eigenschaften hat.

Jetzt sind wir bereit für die zentrale Definition. Wir haben alle Bausteine:
- Eine Menge $M$
- Eine Verknüpfung $*$ auf $M$
- Drei Eigenschaften, die wir fordern werden

Eine Struktur, die all diese Eigenschaften erfüllt, nennen wir eine Gruppe. Diese Definition ist einer der wichtigsten Begriffe der gesamten Algebra.

Definition

Gruppe

Sei $M$ eine Menge und $*$ eine Verknüpfung auf $M$ . Das Paar $(M, *)$ heißt Gruppe, wenn die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

(G1) Assoziativität: Die Verknüpfung $*$ ist assoziativ, d.h. für alle $a, b, c \in M$ gilt $(a * b) * c = a * (b * c)$ .

(G2) Neutrales Element: Es existiert ein Element $e \in M$ , sodass für alle $x \in M$ gilt: $e * x = x * e = x$ . Dieses $e$ verändert nichts, wenn man es mit $x$ verknüpft.

\begin{aligned} \textbf{(G1)} \quad & \forall a,b,c \in M: (a * b) * c = a * (b * c) \\[0.5em] \textbf{(G2)} \quad & \exists e \in M \; \forall x \in M: e * x = x * e = x \\[0.5em] \textbf{(G3)} \quad & \forall x \in M \; \exists y \in M: x * y = y * x = e \end{aligned}

Beispiel

Warum $(\mathbb{Z}, -)$ keine Gruppe ist

Jetzt können wir die Frage beantworten: Bilden die ganzen Zahlen mit Subtraktion eine Gruppe?

Wir prüfen die Axiome:

(G1) Assoziativität? Nein! Wir haben bereits gesehen: $(7 - 3) - 2 \neq 7 - (3 - 2)$ .

Damit ist $(\mathbb{Z}, -)$ definitiv keine Gruppe. Die Subtraktion erfüllt nicht einmal das erste Axiom.

Ein wichtiges Resultat ergibt sich direkt aus den Axiomen: Das neutrale Element und die Inversen sind eindeutig bestimmt.

Eindeutigkeit des Inversen: Seien $y$ und $\tilde{y}$ beide invers zu $x$ . Dann:
$y = y * e = y * (x * \tilde{y}) = (y * x) * \tilde{y} = e * \tilde{y} = \tilde{y}$

Deshalb können wir von DEM neutralen Element und DEM Inversen sprechen.

Zur Notation:

In der multiplikativen Schreibweise schreibt man:
- $m_1 \cdot m_2$ oder einfach $m_1 m_2$ für die Verknüpfung
- $e$ oder $1$ für das neutrale Element
- $x^{-1}$ für das Inverse zu $x$

In der additiven Schreibweise (meist bei kommutativen Gruppen):
- $m_1 + m_2$ für die Verknüpfung
- $0$ für das neutrale Element
- $-x$ für das Inverse zu $x$

Die Wahl der Notation ändert nichts an der Mathematik – sie signalisiert nur, welche "Art" von Verknüpfung gemeint ist.

Definition

Abelsche Gruppe

Manchmal erfüllt eine Gruppe eine zusätzliche, vierte Eigenschaft:

Eine Gruppe $(G, *)$ heißt abelsch (oder kommutativ), wenn zusätzlich zu (G1)–(G3) gilt:

(G4) Kommutativität: Für alle $a, b \in G$ gilt $a * b = b * a$ .

Der Name ehrt den norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829).

Beispiele: $(\mathbb{Z}, +)$ ist abelsch, denn $a + b = b + a$ .

Gegenbeispiel: Die Symmetriegruppe eines Quadrats ist nicht abelsch – die Reihenfolge von Spiegelungen und Drehungen kann das Ergebnis ändern.

\forall a, b \in G: a * b = b * a

Zusammenfassung

Eine Verknüpfung ordnet zwei Elementen einer Menge ein drittes zu (Abgeschlossenheit)
Eine Gruppe $(M, *)$ erfüllt drei Axiome: Assoziativität, neutrales Element, Inverse
Das neutrale Element und die Inversen sind jeweils eindeutig bestimmt
Multiplikative Notation: $xy$ , $e$ , $x^{-1}$ – Additive Notation: $x+y$ , $0$ , $-x$
Abelsche Gruppen sind zusätzlich kommutativ

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Assoziativität in der Praxis

Warum (Z,−)(\mathbb{Z}, -)(Z,−) keine Gruppe ist

Zusammenfassung

Übungen

Definition einer Gruppe

Assoziativität in der Praxis

Warum (Z,−)(\mathbb{Z}, -)(Z,−) keine Gruppe ist

Zusammenfassung

Warum $(\mathbb{Z}, -)$ keine Gruppe ist

Warum $(\mathbb{Z}, -)$ keine Gruppe ist