Lektion 1.7

Gruppenoperationen

20 min Lesezeit

Bisher haben wir Gruppen als algebraische Strukturen für sich betrachtet. Aber oft interessiert uns, wie eine Gruppe auf anderen mathematischen Objekten "wirkt".

Beispiele aus der Intuition:

Die Drehgruppe wirkt auf die Punkte einer Ebene (sie dreht sie)
Die symmetrische Gruppe $S_n$ wirkt auf Teilmengen von $\{1, \ldots, n\}$ (sie permutiert die Elemente)
Eine Gruppe kann sogar auf sich selbst wirken (durch Multiplikation von links)

Das Konzept der Gruppenoperation (oder Gruppenwirkung) formalisiert diese Idee. Es ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Gruppentheorie und hat weitreichende Anwendungen.

Die Grundidee:

Wir haben eine Gruppe $(G, *)$ und eine Menge $M$ . Eine "Operation" oder "Wirkung" von $G$ auf $M$ bedeutet: Jedes Gruppenelement $g \in G$ "tut etwas" mit den Elementen von $M$ .

Wenn wir $g \in G$ auf $m \in M$ anwenden, erhalten wir ein neues Element $g \bullet m \in M$ .

Dabei müssen zwei natürliche Bedingungen gelten:

1. Das neutrale Element "tut nichts": $e \bullet m = m$
2. Hintereinanderausführung funktioniert konsistent: $(g_1 * g_2) \bullet m = g_1 \bullet (g_2 \bullet m)$

Definition

Gruppenoperation (Gruppenwirkung)

Es sei $(G, *)$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine (Links-)Operation von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung

$\bullet: G \times M \to M, \quad (g, m) \mapsto g \bullet m$

die folgende zwei Bedingungen erfüllt:

(O1) $\forall m \in M: e_G \bullet m = m$ (das neutrale Element wirkt trivial)

(O2) $\forall m \in M, \forall g_1, g_2 \in G: g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m$ (Kompatibilität)

Wir sagen dann: "G operiert auf M" oder "G wirkt auf M".

\bullet: G \times M \to M \quad \text{mit} \quad e \bullet m = m, \quad g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m

Beispiel

Die natürliche Operation von $S_n$

Die symmetrische Gruppe $S_n$ operiert auf die offensichtlichste Weise auf $M = \{1, \ldots, n\}$ :

$\sigma \bullet i := \sigma(i)$

Für eine Permutation $\sigma$ und ein Element $i$ ist $\sigma \bullet i$ einfach das Bild von $i$ unter $\sigma$ .

Prüfung der Axiome:

(O1): $\text{Id} \bullet i = \text{Id}(i) = i$

(O2): $(\sigma \circ \tau) \bullet i = (\sigma \circ \tau)(i) = \sigma(\tau(i)) = \sigma \bullet (\tau \bullet i)$

Diese Operation ist die "Urmutter" aller Gruppenoperationen, wie wir gleich sehen werden.

Beispiel

Linksoperation durch Multiplikation

Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation:

$\bullet: G \times G \to G, \quad g \bullet h := g * h$

Prüfung der Axiome:

(O1): $e \bullet h = e * h = h$

(O2): $g_1 \bullet (g_2 \bullet h) = g_1 * (g_2 * h) = (g_1 * g_2) * h = (g_1 * g_2) \bullet h$

Diese Operation wird später beim Satz von Cayley eine entscheidende Rolle spielen.

Satz

Zusammenhang: Operationen und Homomorphismen

Es gibt eine enge Beziehung zwischen Gruppenoperationen und Homomorphismen in die symmetrische Gruppe:

a) Jeder Homomorphismus $\Phi: G \to S_M$ definiert eine Operation von $G$ auf $M$ durch:
$g \bullet m := \Phi(g)(m)$

b) Umgekehrt: Jede Operation von $G$ auf $M$ stammt von einem Homomorphismus $\Phi: G \to S_M$ .

Operationen von $G$ auf $M$ entsprechen also bijektiv den Homomorphismen $G \to S_M$ .

Definition

Bahn und Stabilisator

Sei $G$ eine Gruppe, die auf $M$ operiert. Für $m \in M$ definieren wir:

Die Bahn von $m$ ist die Menge aller Elemente, auf die $m$ "bewegt" werden kann:
$G \bullet m := \{g \bullet m \mid g \in G\} \subseteq M$

Der Stabilisator von $m$ ist die Menge aller Gruppenelemente, die $m$ festhalten:
$\text{Stab}_G(m) := \{g \in G \mid g \bullet m = m\} \subseteq G$

Der Stabilisator ist immer eine Untergruppe von $G$ .

G \bullet m = \{g \bullet m \mid g \in G\}, \quad \text{Stab}_G(m) = \{g \in G \mid g \bullet m = m\}

Satz

Die Bahnrelation ist eine Äquivalenzrelation

Operiert $G$ auf $M$ , so wird durch

$m_1 \sim m_2 :\Leftrightarrow \exists g \in G: m_1 = g \bullet m_2$

eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert. Die Äquivalenzklassen sind genau die Bahnen.

Insbesondere ist $M$ die disjunkte Vereinigung aller Bahnen.

Beispiel

Bahnen bei der Zykelzerlegung

Sei $\sigma \in S_n$ und $H = \langle \sigma \rangle$ die von $\sigma$ erzeugte zyklische Untergruppe. Dann operiert $H$ auf $\{1, \ldots, n\}$ .

Die Bahnen dieser Operation entsprechen genau den Zykeln in der Zykelzerlegung von $\sigma$ !

Beispiel: Für $\sigma = (1\;2\;5)(3\;4) \in S_5$ sind die Bahnen:
- $\{1, 2, 5\}$ (der erste Zykel)
- $\{3, 4\}$ (der zweite Zykel)

Die Zerlegung in disjunkte Zykel ist also nichts anderes als die Zerlegung von $\{1, \ldots, n\}$ in Bahnen unter der Operation von $\langle \sigma \rangle$ .

Satz

Bahnbilanzformel

Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $M$ operiert, und sei $m \in M$ . Dann gilt:

$|G \bullet m| = \frac{|G|}{|\text{Stab}_G(m)|}$

Die Größe einer Bahn ist also gleich dem Index des Stabilisators.

Insbesondere teilt $|G \bullet m|$ die Gruppenordnung $|G|$ .

Zusammenfassung

Eine Gruppenoperation ist eine Abbildung $G \times M \to M$ mit $e \bullet m = m$ und $g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m$
Gruppenoperationen entsprechen bijektiv Homomorphismen $G \to S_M$
Der Satz von Cayley: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
Die Bahn $G \bullet m$ ist die Menge aller erreichbaren Elemente
Der Stabilisator $\text{Stab}_G(m)$ ist die Untergruppe der Elemente, die $m$ festhalten
Bahnbilanzformel: $|G \bullet m| = |G| / |\text{Stab}_G(m)|$

Übungen

Aufgabe 1Freitext

Die Gruppe $G = \mathbb{Z}$ operiert auf $\mathbb{R}$ durch $n \bullet x := x + n$ . Bestimme die Bahn von $0.5$ und den Stabilisator von $0.5$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Die Gruppe $S_3$ operiert auf $\{1, 2, 3\}$ . Wie viele Bahnen hat diese Operation?

1 Bahn

2 Bahnen

3 Bahnen

6 Bahnen

Aufgabe 3Freitext

Erkläre, warum der Stabilisator $\text{Stab}_G(m)$ immer eine Untergruppe von $G$ ist.

Lektion 1.7 · Gruppen

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Gruppenoperationen

Bisher haben wir Gruppen als algebraische Strukturen für sich betrachtet. Aber oft interessiert uns, wie eine Gruppe auf anderen mathematischen Objekten "wirkt".

Beispiele aus der Intuition:

Die Drehgruppe wirkt auf die Punkte einer Ebene (sie dreht sie)
Die symmetrische Gruppe $S_n$ wirkt auf Teilmengen von $\{1, \ldots, n\}$ (sie permutiert die Elemente)
Eine Gruppe kann sogar auf sich selbst wirken (durch Multiplikation von links)

Das Konzept der Gruppenoperation (oder Gruppenwirkung) formalisiert diese Idee. Es ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Gruppentheorie und hat weitreichende Anwendungen.

Die Grundidee:

Wir haben eine Gruppe $(G, *)$ und eine Menge $M$ . Eine "Operation" oder "Wirkung" von $G$ auf $M$ bedeutet: Jedes Gruppenelement $g \in G$ "tut etwas" mit den Elementen von $M$ .

Wenn wir $g \in G$ auf $m \in M$ anwenden, erhalten wir ein neues Element $g \bullet m \in M$ .

Dabei müssen zwei natürliche Bedingungen gelten:

1. Das neutrale Element "tut nichts": $e \bullet m = m$
2. Hintereinanderausführung funktioniert konsistent: $(g_1 * g_2) \bullet m = g_1 \bullet (g_2 \bullet m)$

Definition

Gruppenoperation (Gruppenwirkung)

Es sei $(G, *)$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine (Links-)Operation von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung

$\bullet: G \times M \to M, \quad (g, m) \mapsto g \bullet m$

die folgende zwei Bedingungen erfüllt:

(O1) $\forall m \in M: e_G \bullet m = m$ (das neutrale Element wirkt trivial)

(O2) $\forall m \in M, \forall g_1, g_2 \in G: g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m$ (Kompatibilität)

Wir sagen dann: "G operiert auf M" oder "G wirkt auf M".

\bullet: G \times M \to M \quad \text{mit} \quad e \bullet m = m, \quad g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m

Beispiel

Die natürliche Operation von $S_n$

Die symmetrische Gruppe $S_n$ operiert auf die offensichtlichste Weise auf $M = \{1, \ldots, n\}$ :

$\sigma \bullet i := \sigma(i)$

Für eine Permutation $\sigma$ und ein Element $i$ ist $\sigma \bullet i$ einfach das Bild von $i$ unter $\sigma$ .

Prüfung der Axiome:

(O1): $\text{Id} \bullet i = \text{Id}(i) = i$

(O2): $(\sigma \circ \tau) \bullet i = (\sigma \circ \tau)(i) = \sigma(\tau(i)) = \sigma \bullet (\tau \bullet i)$

Diese Operation ist die "Urmutter" aller Gruppenoperationen, wie wir gleich sehen werden.

Beispiel

Linksoperation durch Multiplikation

Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation:

$\bullet: G \times G \to G, \quad g \bullet h := g * h$

Prüfung der Axiome:

(O1): $e \bullet h = e * h = h$

(O2): $g_1 \bullet (g_2 \bullet h) = g_1 * (g_2 * h) = (g_1 * g_2) * h = (g_1 * g_2) \bullet h$

Diese Operation wird später beim Satz von Cayley eine entscheidende Rolle spielen.

Satz

Zusammenhang: Operationen und Homomorphismen

Es gibt eine enge Beziehung zwischen Gruppenoperationen und Homomorphismen in die symmetrische Gruppe:

a) Jeder Homomorphismus $\Phi: G \to S_M$ definiert eine Operation von $G$ auf $M$ durch:
$g \bullet m := \Phi(g)(m)$

b) Umgekehrt: Jede Operation von $G$ auf $M$ stammt von einem Homomorphismus $\Phi: G \to S_M$ .

Operationen von $G$ auf $M$ entsprechen also bijektiv den Homomorphismen $G \to S_M$ .

Beweis

a) Sei $\Phi: G \to S_M$ ein Homomorphismus. Definiere $g \bullet m := \Phi(g)(m)$ .

(O1): $e \bullet m = \Phi(e)(m) = \text{Id}_M(m) = m$ (da $\Phi$ das neutrale Element erhält)

(O2): $g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = \Phi(g_1)(\Phi(g_2)(m)) = (\Phi(g_1) \circ \Phi(g_2))(m) = \Phi(g_1 * g_2)(m) = (g_1 * g_2) \bullet m$

b) Sei $\bullet$ eine Operation. Für jedes $g \in G$ definiere $\Phi_g: M \to M$ durch $\Phi_g(m) := g \bullet m$ .

Dann ist $\Phi_g$ bijektiv mit Inversem $\Phi_{g^{-1}}$ , also $\Phi_g \in S_M$ .

Die Abbildung $g \mapsto \Phi_g$ ist ein Homomorphismus $G \to S_M$ , und die zugehörige Operation ist gerade $\bullet$ .

q.e.d.

Definition

Bahn und Stabilisator

Sei $G$ eine Gruppe, die auf $M$ operiert. Für $m \in M$ definieren wir:

Die Bahn von $m$ ist die Menge aller Elemente, auf die $m$ "bewegt" werden kann:
$G \bullet m := \{g \bullet m \mid g \in G\} \subseteq M$

Der Stabilisator von $m$ ist die Menge aller Gruppenelemente, die $m$ festhalten:
$\text{Stab}_G(m) := \{g \in G \mid g \bullet m = m\} \subseteq G$

Der Stabilisator ist immer eine Untergruppe von $G$ .

G \bullet m = \{g \bullet m \mid g \in G\}, \quad \text{Stab}_G(m) = \{g \in G \mid g \bullet m = m\}

Satz

Die Bahnrelation ist eine Äquivalenzrelation

Operiert $G$ auf $M$ , so wird durch

$m_1 \sim m_2 :\Leftrightarrow \exists g \in G: m_1 = g \bullet m_2$

eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert. Die Äquivalenzklassen sind genau die Bahnen.

Insbesondere ist $M$ die disjunkte Vereinigung aller Bahnen.

Beweis

Reflexivität: $m = e \bullet m$ , also $m \sim m$ .

Symmetrie: Sei $m_1 = g \bullet m_2$ . Dann $m_2 = g^{-1} \bullet m_1$ , also $m_2 \sim m_1$ .

Transitivität: Sei $m_1 = g_1 \bullet m_2$ und $m_2 = g_2 \bullet m_3$ .
Dann $m_1 = g_1 \bullet (g_2 \bullet m_3) = (g_1 * g_2) \bullet m_3$ , also $m_1 \sim m_3$ .

q.e.d.

Beispiel

Bahnen bei der Zykelzerlegung

Sei $\sigma \in S_n$ und $H = \langle \sigma \rangle$ die von $\sigma$ erzeugte zyklische Untergruppe. Dann operiert $H$ auf $\{1, \ldots, n\}$ .

Die Bahnen dieser Operation entsprechen genau den Zykeln in der Zykelzerlegung von $\sigma$ !

Beispiel: Für $\sigma = (1\;2\;5)(3\;4) \in S_5$ sind die Bahnen:
- $\{1, 2, 5\}$ (der erste Zykel)
- $\{3, 4\}$ (der zweite Zykel)

Die Zerlegung in disjunkte Zykel ist also nichts anderes als die Zerlegung von $\{1, \ldots, n\}$ in Bahnen unter der Operation von $\langle \sigma \rangle$ .

Satz

Bahnbilanzformel

Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $M$ operiert, und sei $m \in M$ . Dann gilt:

$|G \bullet m| = \frac{|G|}{|\text{Stab}_G(m)|}$

Die Größe einer Bahn ist also gleich dem Index des Stabilisators.

Insbesondere teilt $|G \bullet m|$ die Gruppenordnung $|G|$ .

Beweis

Die Abbildung $g \mapsto g \bullet m$ bildet $G$ auf die Bahn $G \bullet m$ ab.

Wann haben zwei Elemente $g_1, g_2 \in G$ dasselbe Bild?
$g_1 \bullet m = g_2 \bullet m \Leftrightarrow g_2^{-1} \bullet (g_1 \bullet m) = m \Leftrightarrow (g_2^{-1} * g_1) \bullet m = m \Leftrightarrow g_2^{-1} * g_1 \in \text{Stab}_G(m)$

Also: $g_1 \bullet m = g_2 \bullet m \Leftrightarrow g_1$ und $g_2$ liegen in derselben Nebenklasse von $\text{Stab}_G(m)$ .

Die Bahn hat so viele Elemente wie es Nebenklassen gibt, also $|G : \text{Stab}_G(m)| = \frac{|G|}{|\text{Stab}_G(m)|}$ .

q.e.d.

Zusammenfassung

Eine Gruppenoperation ist eine Abbildung $G \times M \to M$ mit $e \bullet m = m$ und $g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m$
Gruppenoperationen entsprechen bijektiv Homomorphismen $G \to S_M$
Der Satz von Cayley: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
Die Bahn $G \bullet m$ ist die Menge aller erreichbaren Elemente
Der Stabilisator $\text{Stab}_G(m)$ ist die Untergruppe der Elemente, die $m$ festhalten
Bahnbilanzformel: $|G \bullet m| = |G| / |\text{Stab}_G(m)|$

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Die natürliche Operation von SnS_nSn​

Linksoperation durch Multiplikation

Bahnen bei der Zykelzerlegung

Zusammenfassung

Übungen

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Zusammenfassung

Die natürliche Operation von $S_n$

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