Die ganzen Zahlen mit Addition bilden eine Gruppe:

Assoziativität: $(a + b) + c = a + (b + c)$ (bekannt aus der Schule)

Neutrales Element: Die $0$, denn $a + 0 = 0 + a = a$.

Inverses zu $a$: Das Element $-a$, denn $a + (-a) = 0$.

Diese Gruppe ist zudem abelsch, da $a + b = b + a$ für alle $a, b \in \mathbb{Z}$ gilt.

Die rationalen Zahlen ohne die Null bilden mit Multiplikation eine Gruppe:

Assoziativität: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Neutrales Element: Die $1$, denn $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Inverses zu $a$: Der Kehrwert $\frac{1}{a}$, denn $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

Erinnern wir uns an die Uhr: Die Zahlen 0, 1, 2, ..., 11 bilden mit der zyklischen Addition eine Gruppe. Nach 12 sind wir wieder bei 0.

Allgemeiner: Für jede natürliche Zahl $n \geq 1$ können wir die Zahlen $0, 1, 2, \ldots, n-1$ betrachten und "zyklisch" addieren.

Neutrales Element: Die $0$, denn $a + 0 = a$.

Inverses zu $k$: Die Zahl $n - k$, denn $k + (n-k) = n \equiv 0$.

Diese Gruppe hat genau $n$ Elemente.

Für eine Menge $D$ sei $\text{Sym}(D)$ die Menge aller Bijektionen von $D$ nach $D$. Mit der Komposition $\circ$ als Verknüpfung ist dies eine Gruppe:

Assoziativität: $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (folgt aus der Assoziativität der Abbildungskomposition)

Neutrales Element: Die Identitätsabbildung $\text{Id}_D$.

Inverses zu $f$: Die Umkehrabbildung $f^{-1}$.

Die kleinstmögliche Gruppe ist $\{e\}$ mit $e \cdot e = e$. Sie hat nur ein Element und erfüllt trivialerweise alle Axiome.