Lektion 1.5

Homomorphismen von Gruppen

30 min Lesezeit

Bisher haben wir einzelne Gruppen betrachtet und ihre innere Struktur untersucht: Untergruppen, Erzeugendensysteme, zyklische Gruppen. Jetzt erweitern wir unseren Blick und fragen: Wie hängen verschiedene Gruppen zusammen?

In der modernen Mathematik ist es ein fundamentales Prinzip, nicht nur Objekte zu studieren, sondern vor allem die Abbildungen zwischen ihnen. Diese Sichtweise – das Studium von "Morphismen" – durchzieht die gesamte Algebra und darüber hinaus.

Stellen wir uns folgende Situation vor: Wir haben zwei Gruppen $(G, *)$ und $(H, \circ)$ . Eine beliebige Abbildung $f: G \to H$ würde die Gruppenstruktur komplett ignorieren. Aber was wäre, wenn die Abbildung die Struktur "respektiert"?

Die Grundidee:

Eine "gute" Abbildung zwischen Gruppen sollte die Verknüpfung respektieren. Was bedeutet das konkret?

Wenn wir zwei Elemente $a, b \in G$ haben, können wir sie auf zwei Arten nach $H$ bringen:

Weg 1: Erst verknüpfen, dann abbilden: $a * b \mapsto f(a * b)$

Weg 2: Erst abbilden, dann verknüpfen: $a \mapsto f(a), \; b \mapsto f(b), \;$ dann $f(a) \circ f(b)$

Eine strukturerhaltende Abbildung ist eine, bei der beide Wege zum gleichen Ergebnis führen. Diese Idee führt uns zur zentralen Definition dieses Abschnitts.

Definition

Gruppenhomomorphismus

Es seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ zwei Gruppen. Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt (Gruppen-)Homomorphismus, wenn für alle $x, y \in G$ gilt:

$f(x * y) = f(x) \circ f(y)$

Die Abbildung "übersetzt" also die Verknüpfung in $G$ in die Verknüpfung in $H$ . Links steht: "erst verknüpfen, dann abbilden". Rechts steht: "erst abbilden, dann verknüpfen". Die Homomorphismus-Eigenschaft fordert, dass beides dasselbe ergibt.

Die Menge aller Homomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit $\text{Hom}(G, H)$ bezeichnet.

f: G \to H \text{ ist Homomorphismus} \;\Leftrightarrow\; \forall x, y \in G: f(x * y) = f(x) \circ f(y)

Beispiel

Der triviale Homomorphismus

Für je zwei Gruppen $G$ und $H$ gibt es immer mindestens einen Homomorphismus: den trivialen Homomorphismus, der jedes Element auf das neutrale Element abbildet.

Sei $f: G \to H$ definiert durch $f(x) := e_H$ für alle $x \in G$ .

Ist das wirklich ein Homomorphismus? Wir prüfen:
$f(x * y) = e_H = e_H \circ e_H = f(x) \circ f(y)$

Ja! Der triviale Homomorphismus ist nicht sehr interessant, aber er zeigt, dass $\text{Hom}(G, H)$ nie leer ist.

Beispiel

Die Exponentialfunktion

Ein wunderschönes Beispiel: Die Abbildung $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ ist ein Homomorphismus.

Wir erinnern uns an die fundamentale Eigenschaft der e-Funktion aus der Analysis:
$e^{a + b} = e^a \cdot e^b$

In unserer Sprache: $\exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b)$

Links steht die Gruppenverknüpfung in $(\mathbb{R}, +)$ – die Addition.
Rechts steht die Gruppenverknüpfung in $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ – die Multiplikation.

Die Exponentialfunktion "übersetzt" Addition in Multiplikation! Dies ist kein Zufall, sondern der tiefere Grund, warum Logarithmenrechnen funktioniert.

Historisch wurden Logarithmentafeln genau aus diesem Grund erfunden: Um Multiplikationen (aufwendig) durch Additionen (einfach) zu ersetzen.

Beispiel

Potenzen eines festen Elements

Sei $H$ eine beliebige Gruppe und $h \in H$ ein festes Element. Dann ist die Abbildung

$f: (\mathbb{Z}, +) \to H, \quad f(n) := h^n$

ein Homomorphismus. Dabei ist $h^n$ die $n$ -te Potenz von $h$ (für negative $n$ entsprechend $h^n = (h^{-1})^{|n|}$ ).

Warum ist das ein Homomorphismus?
$f(m + n) = h^{m+n} = h^m \cdot h^n = f(m) \cdot f(n)$

Das Bild dieses Homomorphismus ist genau die von $h$ erzeugte Untergruppe $\langle h \rangle$ .

Satz

Eigenschaften von Homomorphismen

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gelten:

a) $f(e_G) = e_H$ (Das neutrale Element wird auf das neutrale Element abgebildet)

b) Für alle $g \in G$ : $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ (Inverse werden auf Inverse abgebildet)

Diese Eigenschaften folgen zwingend aus der Homomorphismus-Eigenschaft – wir müssen sie nicht extra fordern!

Definition

Spezielle Typen von Homomorphismen

Je nach Eigenschaften der Abbildung hat ein Homomorphismus verschiedene Namen:

Monomorphismus: Ein injektiver Homomorphismus.
(Verschiedene Elemente werden auf verschiedene Elemente abgebildet. "Mono" = einzeln, allein)

Epimorphismus: Ein surjektiver Homomorphismus.
(Jedes Element in $H$ wird getroffen. "Epi" = auf, über)

Isomorphismus: Ein bijektiver Homomorphismus.
(Injektiv und surjektiv. Dies ist der wichtigste Begriff!)

Endomorphismus: Ein Homomorphismus von $G$ in sich selbst, also $f: G \to G$ .
("Endo" = innen)

Automorphismus: Ein bijektiver Endomorphismus, also ein Isomorphismus von $G$ nach $G$ .
("Auto" = selbst)

\text{Aut}(G) := \{f: G \to G \mid f \text{ ist Automorphismus}\}

Warum sind Isomorphismen so wichtig?

Wenn es einen Isomorphismus $f: G \to H$ gibt, dann sind $G$ und $H$ aus algebraischer Sicht identisch. Sie unterscheiden sich nur durch die "Namen" ihrer Elemente.

Die Bijektion $f$ stellt eine vollständige Korrespondenz her:
- Jedes $g \in G$ entspricht genau einem $f(g) \in H$
- Die Verknüpfungen entsprechen einander: $g_1 * g_2$ in $G$ entspricht $f(g_1) \circ f(g_2)$ in $H$

Wenn $G \cong H$ (sprich: " $G$ ist isomorph zu $H$ "), dann hat jede algebraische Aussage über $G$ eine entsprechende Aussage über $H$ – und umgekehrt.

Beispiel

Isomorphie konkreter Gruppen

Die Gruppen $(\mathbb{Z}, +)$ und $(2\mathbb{Z}, +)$ sind isomorph.

Der Isomorphismus ist $f: \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$ , $f(n) := 2n$ (Verdopplung).

Injektiv? Wenn $2m = 2n$ , dann $m = n$ . Ja!
Surjektiv? Jede gerade Zahl $2k$ ist das Bild von $k$ . Ja!
Homomorphismus? $f(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = f(m) + f(n)$ . Ja!

Obwohl $2\mathbb{Z}$ eine echte Teilmenge von $\mathbb{Z}$ ist, sind die beiden Gruppen strukturell gleich!

Definition

Kern eines Homomorphismus

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von $f$ ist die Menge aller Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden:

$\text{Kern}(f) := \{g \in G \mid f(g) = e_H\} = f^{-1}(\{e_H\})$

Der Kern misst, wie "weit weg" der Homomorphismus von der Injektivität ist.

\text{Kern}(f) = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}

Satz

Zusammenhang: Kern und Injektivität

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$

Der Kern besteht also genau dann nur aus dem neutralen Element, wenn $f$ injektiv ist.

Definition

Bild eines Homomorphismus

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Das Bild von $f$ ist die Menge aller Elemente in $H$ , die von $f$ getroffen werden:

$\text{Bild}(f) := \{f(g) \mid g \in G\} = f(G) \subseteq H$

Offensichtlich gilt: $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Bild}(f) = H$ .

\text{Bild}(f) = \{f(g) \mid g \in G\}

Satz

Kern und Bild sind Untergruppen

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) $\text{Kern}(f)$ ist eine Untergruppe von $G$ .

b) $\text{Bild}(f)$ ist eine Untergruppe von $H$ .

Homomorphismen liefern uns also automatisch Untergruppen!

Beispiel

Kern der Exponentialfunktion

Betrachten wir nochmals $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ .

Kern: Welche reellen Zahlen $x$ erfüllen $e^x = 1$ ? Nur $x = 0$ !
Also: $\text{Kern}(\exp) = \{0\}$

Da der Kern nur aus dem neutralen Element besteht, ist $\exp$ injektiv.

Bild: Jede positive reelle Zahl $y > 0$ kann als $y = e^{\ln y}$ geschrieben werden.
Also: $\text{Bild}(\exp) = \mathbb{R}_{>0}$

Da das Bild ganz $\mathbb{R}_{>0}$ ist, ist $\exp$ surjektiv.

Zusammen: $\exp$ ist ein Isomorphismus zwischen $(\mathbb{R}, +)$ und $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ !

Beispiel

Der Signum-Homomorphismus

Die Abbildung $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\{1, -1\}, \cdot)$ , definiert durch $\varphi(n) := (-1)^n$ , ist ein Homomorphismus.

Prüfung: $\varphi(m + n) = (-1)^{m+n} = (-1)^m \cdot (-1)^n = \varphi(m) \cdot \varphi(n)$

Kern: Wann ist $(-1)^n = 1$ ? Genau dann, wenn $n$ gerade ist.
Also: $\text{Kern}(\varphi) = 2\mathbb{Z}$ (die geraden Zahlen)

Bild: Da $\varphi(0) = 1$ und $\varphi(1) = -1$ , ist $\text{Bild}(\varphi) = \{1, -1\}$ .

Der Homomorphismus ist surjektiv, aber nicht injektiv (da der Kern mehr als nur $\{0\}$ enthält).

Satz

Komposition von Homomorphismen

Seien $f: G \to H$ und $g: H \to K$ Gruppenhomomorphismen. Dann ist auch die Komposition $g \circ f: G \to K$ ein Gruppenhomomorphismus.

Ausserdem: Das Inverse eines Isomorphismus ist wieder ein Isomorphismus.

Zusammenfassung

Ein Homomorphismus $f: G \to H$ erfüllt $f(xy) = f(x)f(y)$ – er respektiert die Gruppenstruktur
Homomorphismen bilden $e_G$ auf $e_H$ und Inverse auf Inverse ab
Monomorphismus = injektiv, Epimorphismus = surjektiv, Isomorphismus = bijektiv
Der Kern $\text{Kern}(f) = f^{-1}(\{e_H\})$ ist eine Untergruppe von $G$
Das Bild $\text{Bild}(f) = f(G)$ ist eine Untergruppe von $H$
$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$
Isomorphe Gruppen ( $G \cong H$ ) sind algebraisch identisch

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Was ist ein Automorphismus?

Eine Abbildung, die automatisch ein Homomorphismus ist

Ein injektiver Homomorphismus von G nach H

Ein bijektiver Homomorphismus von G in sich selbst

Ein surjektiver Homomorphismus

Aufgabe 2Freitext

Bestimme den Kern des Homomorphismus $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\{1, -1\}, \cdot)$ , definiert durch $\varphi(n) = (-1)^n$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Welche Aussage ist äquivalent zu " $f$ ist injektiv"?

$\text{Bild}(f) = H$

$\text{Kern}(f) = G$

$\text{Kern}(f) = \{e_G\}$

$\text{Bild}(f) = \{e_H\}$

Lektion 1.5 · Gruppen

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Homomorphismen von Gruppen

Die Grundidee:

Eine "gute" Abbildung zwischen Gruppen sollte die Verknüpfung respektieren. Was bedeutet das konkret?

Wenn wir zwei Elemente $a, b \in G$ haben, können wir sie auf zwei Arten nach $H$ bringen:

Weg 1: Erst verknüpfen, dann abbilden: $a * b \mapsto f(a * b)$

Weg 2: Erst abbilden, dann verknüpfen: $a \mapsto f(a), \; b \mapsto f(b), \;$ dann $f(a) \circ f(b)$

Eine strukturerhaltende Abbildung ist eine, bei der beide Wege zum gleichen Ergebnis führen. Diese Idee führt uns zur zentralen Definition dieses Abschnitts.

Definition

Gruppenhomomorphismus

Es seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ zwei Gruppen. Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt (Gruppen-)Homomorphismus, wenn für alle $x, y \in G$ gilt:

$f(x * y) = f(x) \circ f(y)$

Die Menge aller Homomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit $\text{Hom}(G, H)$ bezeichnet.

f: G \to H \text{ ist Homomorphismus} \;\Leftrightarrow\; \forall x, y \in G: f(x * y) = f(x) \circ f(y)

Beispiel

Der triviale Homomorphismus

Für je zwei Gruppen $G$ und $H$ gibt es immer mindestens einen Homomorphismus: den trivialen Homomorphismus, der jedes Element auf das neutrale Element abbildet.

Sei $f: G \to H$ definiert durch $f(x) := e_H$ für alle $x \in G$ .

Ist das wirklich ein Homomorphismus? Wir prüfen:
$f(x * y) = e_H = e_H \circ e_H = f(x) \circ f(y)$

Ja! Der triviale Homomorphismus ist nicht sehr interessant, aber er zeigt, dass $\text{Hom}(G, H)$ nie leer ist.

Beispiel

Die Exponentialfunktion

Ein wunderschönes Beispiel: Die Abbildung $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ ist ein Homomorphismus.

Wir erinnern uns an die fundamentale Eigenschaft der e-Funktion aus der Analysis:
$e^{a + b} = e^a \cdot e^b$

In unserer Sprache: $\exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b)$

Links steht die Gruppenverknüpfung in $(\mathbb{R}, +)$ – die Addition.
Rechts steht die Gruppenverknüpfung in $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ – die Multiplikation.

Die Exponentialfunktion "übersetzt" Addition in Multiplikation! Dies ist kein Zufall, sondern der tiefere Grund, warum Logarithmenrechnen funktioniert.

Historisch wurden Logarithmentafeln genau aus diesem Grund erfunden: Um Multiplikationen (aufwendig) durch Additionen (einfach) zu ersetzen.

Beispiel

Potenzen eines festen Elements

Sei $H$ eine beliebige Gruppe und $h \in H$ ein festes Element. Dann ist die Abbildung

$f: (\mathbb{Z}, +) \to H, \quad f(n) := h^n$

ein Homomorphismus. Dabei ist $h^n$ die $n$ -te Potenz von $h$ (für negative $n$ entsprechend $h^n = (h^{-1})^{|n|}$ ).

Warum ist das ein Homomorphismus?
$f(m + n) = h^{m+n} = h^m \cdot h^n = f(m) \cdot f(n)$

Das Bild dieses Homomorphismus ist genau die von $h$ erzeugte Untergruppe $\langle h \rangle$ .

Satz

Eigenschaften von Homomorphismen

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gelten:

a) $f(e_G) = e_H$ (Das neutrale Element wird auf das neutrale Element abgebildet)

b) Für alle $g \in G$ : $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ (Inverse werden auf Inverse abgebildet)

Diese Eigenschaften folgen zwingend aus der Homomorphismus-Eigenschaft – wir müssen sie nicht extra fordern!

Beweis

Beweis von a):
Wir nutzen, dass $e_G * e_G = e_G$ gilt. Dann:
$f(e_G) = f(e_G * e_G) = f(e_G) \circ f(e_G)$

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten von links mit $f(e_G)^{-1}$ :
$f(e_G)^{-1} \circ f(e_G) = f(e_G)^{-1} \circ f(e_G) \circ f(e_G)$
$e_H = f(e_G)$

Beweis von b):
Für $g \in G$ gilt $g * g^{-1} = e_G$ . Also:
$f(g * g^{-1}) = f(e_G) = e_H$ (nach Teil a)

Andererseits:
$f(g * g^{-1}) = f(g) \circ f(g^{-1})$

Zusammen: $f(g) \circ f(g^{-1}) = e_H$

Das bedeutet aber genau, dass $f(g^{-1})$ das Inverse zu $f(g)$ ist, also $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ .

q.e.d.

Definition

Spezielle Typen von Homomorphismen

Je nach Eigenschaften der Abbildung hat ein Homomorphismus verschiedene Namen:

Monomorphismus: Ein injektiver Homomorphismus.
(Verschiedene Elemente werden auf verschiedene Elemente abgebildet. "Mono" = einzeln, allein)

Epimorphismus: Ein surjektiver Homomorphismus.
(Jedes Element in $H$ wird getroffen. "Epi" = auf, über)

Isomorphismus: Ein bijektiver Homomorphismus.
(Injektiv und surjektiv. Dies ist der wichtigste Begriff!)

Endomorphismus: Ein Homomorphismus von $G$ in sich selbst, also $f: G \to G$ .
("Endo" = innen)

Automorphismus: Ein bijektiver Endomorphismus, also ein Isomorphismus von $G$ nach $G$ .
("Auto" = selbst)

\text{Aut}(G) := \{f: G \to G \mid f \text{ ist Automorphismus}\}

Warum sind Isomorphismen so wichtig?

Wenn es einen Isomorphismus $f: G \to H$ gibt, dann sind $G$ und $H$ aus algebraischer Sicht identisch. Sie unterscheiden sich nur durch die "Namen" ihrer Elemente.

Wenn $G \cong H$ (sprich: " $G$ ist isomorph zu $H$ "), dann hat jede algebraische Aussage über $G$ eine entsprechende Aussage über $H$ – und umgekehrt.

Beispiel

Isomorphie konkreter Gruppen

Die Gruppen $(\mathbb{Z}, +)$ und $(2\mathbb{Z}, +)$ sind isomorph.

Der Isomorphismus ist $f: \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$ , $f(n) := 2n$ (Verdopplung).

Injektiv? Wenn $2m = 2n$ , dann $m = n$ . Ja!
Surjektiv? Jede gerade Zahl $2k$ ist das Bild von $k$ . Ja!
Homomorphismus? $f(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = f(m) + f(n)$ . Ja!

Obwohl $2\mathbb{Z}$ eine echte Teilmenge von $\mathbb{Z}$ ist, sind die beiden Gruppen strukturell gleich!

Definition

Kern eines Homomorphismus

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von $f$ ist die Menge aller Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden:

$\text{Kern}(f) := \{g \in G \mid f(g) = e_H\} = f^{-1}(\{e_H\})$

Der Kern misst, wie "weit weg" der Homomorphismus von der Injektivität ist.

\text{Kern}(f) = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}

Satz

Zusammenhang: Kern und Injektivität

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$

Der Kern besteht also genau dann nur aus dem neutralen Element, wenn $f$ injektiv ist.

Beweis

" $\Rightarrow$ ": Sei $f$ injektiv. Wir wissen bereits, dass $f(e_G) = e_H$ . Wenn nun $f(g) = e_H$ für ein $g \in G$ , dann $f(g) = f(e_G)$ . Da $f$ injektiv ist, folgt $g = e_G$ . Also $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$ .

" $\Leftarrow$ ": Sei $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$ . Seien $g_1, g_2 \in G$ mit $f(g_1) = f(g_2)$ .
Dann: $e_H = f(g_1) \circ f(g_2)^{-1} = f(g_1) \circ f(g_2^{-1}) = f(g_1 * g_2^{-1})$

Also liegt $g_1 * g_2^{-1}$ im Kern, somit $g_1 * g_2^{-1} = e_G$ , also $g_1 = g_2$ .
Damit ist $f$ injektiv.

q.e.d.

Definition

Bild eines Homomorphismus

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Das Bild von $f$ ist die Menge aller Elemente in $H$ , die von $f$ getroffen werden:

$\text{Bild}(f) := \{f(g) \mid g \in G\} = f(G) \subseteq H$

Offensichtlich gilt: $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Bild}(f) = H$ .

\text{Bild}(f) = \{f(g) \mid g \in G\}

Satz

Kern und Bild sind Untergruppen

Sei $f: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) $\text{Kern}(f)$ ist eine Untergruppe von $G$ .

b) $\text{Bild}(f)$ ist eine Untergruppe von $H$ .

Homomorphismen liefern uns also automatisch Untergruppen!

Beweis

Wir verwenden das Untergruppenkriterium: Eine nicht-leere Teilmenge $U$ ist Untergruppe, wenn für alle $a, b \in U$ auch $a * b^{-1} \in U$ gilt.

Beweis für den Kern:

1. $\text{Kern}(f) \neq \emptyset$ : Da $f(e_G) = e_H$ , liegt $e_G$ im Kern.

2. Seien $a, b \in \text{Kern}(f)$ , also $f(a) = e_H$ und $f(b) = e_H$ .
Dann: $f(a * b^{-1}) = f(a) \circ f(b^{-1}) = f(a) \circ f(b)^{-1} = e_H \circ e_H^{-1} = e_H$
Also liegt $a * b^{-1}$ im Kern.

Beweis für das Bild:

1. $\text{Bild}(f) \neq \emptyset$ : Da $f(e_G) = e_H$ , liegt $e_H$ im Bild.

2. Seien $x, y \in \text{Bild}(f)$ , also $x = f(a)$ und $y = f(b)$ für geeignete $a, b \in G$ .
Dann: $x \circ y^{-1} = f(a) \circ f(b)^{-1} = f(a) \circ f(b^{-1}) = f(a * b^{-1})$
Da $a * b^{-1} \in G$ , liegt $x \circ y^{-1}$ im Bild.

q.e.d.

Beispiel

Kern der Exponentialfunktion

Betrachten wir nochmals $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ .

Kern: Welche reellen Zahlen $x$ erfüllen $e^x = 1$ ? Nur $x = 0$ !
Also: $\text{Kern}(\exp) = \{0\}$

Da der Kern nur aus dem neutralen Element besteht, ist $\exp$ injektiv.

Bild: Jede positive reelle Zahl $y > 0$ kann als $y = e^{\ln y}$ geschrieben werden.
Also: $\text{Bild}(\exp) = \mathbb{R}_{>0}$

Da das Bild ganz $\mathbb{R}_{>0}$ ist, ist $\exp$ surjektiv.

Zusammen: $\exp$ ist ein Isomorphismus zwischen $(\mathbb{R}, +)$ und $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ !

Beispiel

Der Signum-Homomorphismus

Die Abbildung $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\{1, -1\}, \cdot)$ , definiert durch $\varphi(n) := (-1)^n$ , ist ein Homomorphismus.

Prüfung: $\varphi(m + n) = (-1)^{m+n} = (-1)^m \cdot (-1)^n = \varphi(m) \cdot \varphi(n)$

Kern: Wann ist $(-1)^n = 1$ ? Genau dann, wenn $n$ gerade ist.
Also: $\text{Kern}(\varphi) = 2\mathbb{Z}$ (die geraden Zahlen)

Bild: Da $\varphi(0) = 1$ und $\varphi(1) = -1$ , ist $\text{Bild}(\varphi) = \{1, -1\}$ .

Der Homomorphismus ist surjektiv, aber nicht injektiv (da der Kern mehr als nur $\{0\}$ enthält).

Satz

Komposition von Homomorphismen

Seien $f: G \to H$ und $g: H \to K$ Gruppenhomomorphismen. Dann ist auch die Komposition $g \circ f: G \to K$ ein Gruppenhomomorphismus.

Ausserdem: Das Inverse eines Isomorphismus ist wieder ein Isomorphismus.

Beweis

Für die Komposition: Seien $x, y \in G$ . Dann:
$(g \circ f)(x * y) = g(f(x * y)) = g(f(x) \circ f(y)) = g(f(x)) \circ g(f(y)) = (g \circ f)(x) \circ (g \circ f)(y)$

Für das Inverse: Sei $f: G \to H$ ein Isomorphismus. Da $f$ bijektiv ist, existiert $f^{-1}: H \to G$ .
Zu zeigen: $f^{-1}$ ist ein Homomorphismus.

Seien $x, y \in H$ . Dann existieren eindeutige $a, b \in G$ mit $f(a) = x$ und $f(b) = y$ .
Es gilt: $f(a * b) = f(a) \circ f(b) = x \circ y$
Also: $f^{-1}(x \circ y) = a * b = f^{-1}(x) * f^{-1}(y)$

q.e.d.

Zusammenfassung

Ein Homomorphismus $f: G \to H$ erfüllt $f(xy) = f(x)f(y)$ – er respektiert die Gruppenstruktur
Homomorphismen bilden $e_G$ auf $e_H$ und Inverse auf Inverse ab
Monomorphismus = injektiv, Epimorphismus = surjektiv, Isomorphismus = bijektiv
Der Kern $\text{Kern}(f) = f^{-1}(\{e_H\})$ ist eine Untergruppe von $G$
Das Bild $\text{Bild}(f) = f(G)$ ist eine Untergruppe von $H$
$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\text{Kern}(f) = \{e_G\}$
Isomorphe Gruppen ( $G \cong H$ ) sind algebraisch identisch

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