Lektion 2.3

Die Implikation – Wenn...Dann

15 min Lesezeit

Die Implikation ist die vielleicht wichtigste Verknüpfung in der Logik. Sie drückt eine "Wenn...dann"-Beziehung aus:

"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."

In der Mathematik sind fast alle Sätze Implikationen:
- "Wenn n gerade ist, dann ist n² gerade."
- "Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie stetig."

Um die Implikation zu verstehen, müssen wir genau klären, wann sie wahr und wann sie falsch ist.

Definition

Implikation

Die Implikation $A \rightarrow B$ ("Wenn A, dann B") ist definiert als:

| A | B | $A \rightarrow B$ |
|---|---|-------------------|
| W | W | W |
| W | F | F |
| F | W | W |
| F | F | W |

Die Implikation ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

In Worten: Ein "Wenn...dann"-Satz ist nur dann falsch, wenn die Bedingung erfüllt ist, aber die Folgerung nicht eintritt.

A \rightarrow B \quad \text{"Wenn A, dann B"}

Beispiel

Implikationen in der Mathematik

Satz: "Wenn n durch 4 teilbar ist, dann ist n durch 2 teilbar."

Prüfen wir verschiedene Fälle:
- n = 8: Durch 4 teilbar ✓, durch 2 teilbar ✓ → Implikation wahr
- n = 6: Nicht durch 4 teilbar, aber durch 2 teilbar → Implikation wahr (Bedingung nicht erfüllt)
- n = 7: Nicht durch 4 teilbar, nicht durch 2 teilbar → Implikation wahr (Bedingung nicht erfüllt)
- n = ?: Durch 4 teilbar, aber nicht durch 2 teilbar → Gibt es nicht! Deshalb ist die Aussage immer wahr.

Definition

Äquivalenz

Die Äquivalenz $A \leftrightarrow B$ ("A genau dann, wenn B") ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben.

| A | B | $A \leftrightarrow B$ |
|---|---|----------------------|
| W | W | W |
| W | F | F |
| F | W | F |
| F | F | W |

Die Äquivalenz bedeutet: $(A \rightarrow B)$ und $(B \rightarrow A)$

A \leftrightarrow B \quad \text{"A genau dann, wenn B"}

Zusammenfassung

$A \rightarrow B$ ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist
Wenn die Bedingung A falsch ist, ist die Implikation automatisch wahr
$A \leftrightarrow B$ ist wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Sei A wahr und B falsch. Was ist der Wahrheitswert von $A \rightarrow B$ ?

Wahr

Falsch

Nicht definiert

Beides möglich

Die Implikation – Wenn...Dann

Die Implikation ist die vielleicht wichtigste Verknüpfung in der Logik. Sie drückt eine "Wenn...dann"-Beziehung aus:

"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."

In der Mathematik sind fast alle Sätze Implikationen:
- "Wenn n gerade ist, dann ist n² gerade."
- "Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie stetig."

Um die Implikation zu verstehen, müssen wir genau klären, wann sie wahr und wann sie falsch ist.

Definition

Implikation

Die Implikation $A \rightarrow B$ ("Wenn A, dann B") ist definiert als:

| A | B | $A \rightarrow B$ |
|---|---|-------------------|
| W | W | W |
| W | F | F |
| F | W | W |
| F | F | W |

Die Implikation ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

In Worten: Ein "Wenn...dann"-Satz ist nur dann falsch, wenn die Bedingung erfüllt ist, aber die Folgerung nicht eintritt.

A \rightarrow B \quad \text{"Wenn A, dann B"}

Beispiel

Implikationen in der Mathematik

Satz: "Wenn n durch 4 teilbar ist, dann ist n durch 2 teilbar."

Definition

Äquivalenz

Die Äquivalenz $A \leftrightarrow B$ ("A genau dann, wenn B") ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben.

| A | B | $A \leftrightarrow B$ |
|---|---|----------------------|
| W | W | W |
| W | F | F |
| F | W | F |
| F | F | W |

Die Äquivalenz bedeutet: $(A \rightarrow B)$ und $(B \rightarrow A)$

A \leftrightarrow B \quad \text{"A genau dann, wenn B"}

Zusammenfassung

$A \rightarrow B$ ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist
Wenn die Bedingung A falsch ist, ist die Implikation automatisch wahr
$A \leftrightarrow B$ ist wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben

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