Lektion 2.5

Tautologien und Widersprüche

12 min Lesezeit

Manche Aussagen sind immer wahr, egal welche Werte die einzelnen Teile haben. Andere sind immer falsch. Diese speziellen Aussagen sind besonders wichtig.

Definition

Tautologie

Eine Tautologie ist eine Aussage, die unter jeder Belegung wahr ist.

Beispiel: $A \lor \neg A$

| A | $\neg A$ | $A \lor \neg A$ |
|---|---------|-----------------|
| W | F | W |
| F | W | W |

Diese Aussage ist immer wahr: Entweder ist A wahr, oder nicht-A ist wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.

Man nennt dies auch den "Satz vom ausgeschlossenen Dritten".

A \lor \neg A \quad \text{ist immer wahr (Tautologie)}

Definition

Widerspruch (Kontradiktion)

Ein Widerspruch (Kontradiktion) ist eine Aussage, die unter jeder Belegung falsch ist.

Beispiel: $A \land \neg A$

| A | $\neg A$ | $A \land \neg A$ |
|---|---------|------------------|
| W | F | F |
| F | W | F |

Diese Aussage ist immer falsch: A und nicht-A können nicht gleichzeitig wahr sein.

A \land \neg A \quad \text{ist immer falsch (Kontradiktion)}

Beispiel

Weitere Tautologien

Wichtige Tautologien, die oft in Beweisen verwendet werden:

Modus Ponens:
$(A \land (A \rightarrow B)) \rightarrow B$
"Wenn A wahr ist und aus A folgt B, dann ist B wahr."

Modus Tollens:
$((A \rightarrow B) \land \neg B) \rightarrow \neg A$
"Wenn aus A folgt B, und B ist falsch, dann ist A falsch."

Diese Schlussregeln bilden die Grundlage für mathematische Beweise.

Zusammenfassung

Eine Tautologie ist immer wahr (z.B. $A \lor \neg A$ )
Eine Kontradiktion ist immer falsch (z.B. $A \land \neg A$ )
Modus Ponens und Modus Tollens sind wichtige Schlussregeln

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche Aussage ist eine Tautologie?

$A \rightarrow B$

$A \land B$

$A \lor \neg A$

$A \land \neg A$

Tautologien und Widersprüche

Manche Aussagen sind immer wahr, egal welche Werte die einzelnen Teile haben. Andere sind immer falsch. Diese speziellen Aussagen sind besonders wichtig.

Definition

Tautologie

Eine Tautologie ist eine Aussage, die unter jeder Belegung wahr ist.

Beispiel: $A \lor \neg A$

| A | $\neg A$ | $A \lor \neg A$ |
|---|---------|-----------------|
| W | F | W |
| F | W | W |

Diese Aussage ist immer wahr: Entweder ist A wahr, oder nicht-A ist wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.

Man nennt dies auch den "Satz vom ausgeschlossenen Dritten".

A \lor \neg A \quad \text{ist immer wahr (Tautologie)}

Definition

Widerspruch (Kontradiktion)

Ein Widerspruch (Kontradiktion) ist eine Aussage, die unter jeder Belegung falsch ist.

Beispiel: $A \land \neg A$

| A | $\neg A$ | $A \land \neg A$ |
|---|---------|------------------|
| W | F | F |
| F | W | F |

Diese Aussage ist immer falsch: A und nicht-A können nicht gleichzeitig wahr sein.

A \land \neg A \quad \text{ist immer falsch (Kontradiktion)}

Beispiel

Weitere Tautologien

Wichtige Tautologien, die oft in Beweisen verwendet werden:

Modus Ponens:
$(A \land (A \rightarrow B)) \rightarrow B$
"Wenn A wahr ist und aus A folgt B, dann ist B wahr."

Modus Tollens:
$((A \rightarrow B) \land \neg B) \rightarrow \neg A$
"Wenn aus A folgt B, und B ist falsch, dann ist A falsch."

Diese Schlussregeln bilden die Grundlage für mathematische Beweise.

Zusammenfassung

Eine Tautologie ist immer wahr (z.B. $A \lor \neg A$ )
Eine Kontradiktion ist immer falsch (z.B. $A \land \neg A$ )
Modus Ponens und Modus Tollens sind wichtige Schlussregeln

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