Warum formale Logik?
In der Mathematik geht es darum, Aussagen zu beweisen. Aber was genau ist ein "Beweis"? Und woher wissen wir, dass unsere Argumente korrekt sind?
Die natürliche Sprache ist oft mehrdeutig. Betrachte den Satz:
"Wenn es regnet, nehme ich einen Schirm mit. Es regnet nicht. Also habe ich keinen Schirm dabei."
Ist diese Schlussfolgerung korrekt? Intuitiv würde man sagen: Nein, vielleicht habe ich den Schirm aus einem anderen Grund dabei. Aber wie können wir das präzise begründen?
Die formale Logik gibt uns die Werkzeuge, um solche Fragen systematisch zu beantworten.
Was ist eine Aussage?
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist – nicht beides und nicht "manchmal".
Beispiele für Aussagen:
- "5 ist eine Primzahl" (wahr)
- "Alle Quadrate sind rund" (falsch)
- "2 + 2 = 4" (wahr)
Keine Aussagen sind:
- "Komm sofort her!" (Befehl)
- "Wie spät ist es?" (Frage)
- "x ist größer als 5" (enthält eine Variable – Wahrheitswert hängt von x ab)
Die Grundidee der Aussagenlogik
Die Aussagenlogik untersucht, wie sich Wahrheitswerte verhalten, wenn wir Aussagen verknüpfen.
Zum Beispiel:
- Wenn A wahr ist und B wahr ist, ist "A und B" wahr
- Wenn A wahr ist oder B wahr ist, ist "A oder B" wahr
- Wenn A falsch ist, ist "nicht A" wahr
Die Aussagenlogik behandelt Aussagen als "Bausteine", ohne sich für ihren Inhalt zu interessieren. Es geht nur darum, wie sich die Wahrheitswerte bei Verknüpfungen verhalten.
Typische Denkfehler erkennen
Typische Denkfehler erkennen
Die formale Logik hilft uns, typische Denkfehler zu erkennen:
Fehlschluss 1:
"Wenn es regnet, ist die Straße nass."
"Die Straße ist nass."
"Also regnet es."
Das ist falsch! Die Straße könnte auch aus anderem Grund nass sein.
Korrekter Schluss:
"Wenn es regnet, ist die Straße nass."
"Die Straße ist nicht nass."
"Also regnet es nicht."
Das ist korrekt! Wenn die Folge nicht eintritt, kann die Ursache nicht vorgelegen haben.
Zusammenfassung
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist
Die Aussagenlogik untersucht, wie man Aussagen mit "und", "oder", "nicht", "wenn...dann" verknüpft
Die Logik findet Anwendung in Mathematik, Informatik und Philosophie
Übungen
Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage im logischen Sinne?