Lektion 2.4

Rechenregeln in Ringen

15 min Lesezeit

Aus den Ring-Axiomen folgen automatisch nützliche Rechenregeln. Diese gelten in jedem Ring.

Definition

Abgeleitete Rechenregeln

Für alle x,y∈Rx, y \in R gilt:

1. Multiplikation mit Null:
0⋅x=x⋅0=00 \cdot x = x \cdot 0 = 0

2. Vorzeichen:
(−x)⋅y=−(x⋅y)=x⋅(−y)(-x) \cdot y = -(x \cdot y) = x \cdot (-y)
(−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x
(−x)⋅(−y)=x⋅y(-x) \cdot (-y) = x \cdot y

0⋅x=0,(−x)(−y)=xy0 \cdot x = 0, \quad (-x)(-y) = xy
Beispiel

Beweis: 0⋅x=00 \cdot x = 0

0⋅x=(0+0)⋅x=0⋅x+0⋅x0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x

Subtrahiere 0⋅x0 \cdot x auf beiden Seiten:
0=0⋅x0 = 0 \cdot x ✓

Beispiel

Beweis: (−x)⋅y=−(xy)(-x) \cdot y = -(xy)

(−x)⋅y+x⋅y=(−x+x)⋅y=0⋅y=0(-x) \cdot y + x \cdot y = (-x + x) \cdot y = 0 \cdot y = 0

Also ist (−x)⋅y(-x) \cdot y das additive Inverse von x⋅yx \cdot y.

Beispiel

Kürzungsregel

Gilt aus ax=ayax = ay immer x=yx = y?

Nein! In Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}: [3]⋅[2]=[0]=[3]⋅[4][3] \cdot [2] = [0] = [3] \cdot [4], aber [2]≠[4][2] \neq [4].

Die Kürzungsregel gilt nur, wenn aa kein Nullteiler ist.

Zusammenfassung

  • 0⋅x=00 \cdot x = 0, (−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x, (−x)(−y)=xy(-x)(-y) = xy

  • Binomische Formeln nur bei Kommutativität

  • Kürzungsregel nur für Nicht-Nullteiler

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Gilt (A+B)2=A2+2AB+B2(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 für Matrizen?

Lektion 2.4 · Ringe
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Rechenregeln in Ringen

Aus den Ring-Axiomen folgen automatisch nützliche Rechenregeln. Diese gelten in jedem Ring.

Definition

Abgeleitete Rechenregeln

Für alle x,y∈Rx, y \in R gilt:

1. Multiplikation mit Null:
0⋅x=x⋅0=00 \cdot x = x \cdot 0 = 0

2. Vorzeichen:
(−x)⋅y=−(x⋅y)=x⋅(−y)(-x) \cdot y = -(x \cdot y) = x \cdot (-y)
(−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x
(−x)⋅(−y)=x⋅y(-x) \cdot (-y) = x \cdot y

0⋅x=0,(−x)(−y)=xy0 \cdot x = 0, \quad (-x)(-y) = xy
Beispiel

Beweis: 0⋅x=00 \cdot x = 0

0⋅x=(0+0)⋅x=0⋅x+0⋅x0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x

Subtrahiere 0⋅x0 \cdot x auf beiden Seiten:
0=0⋅x0 = 0 \cdot x ✓

Beispiel

Beweis: (−x)⋅y=−(xy)(-x) \cdot y = -(xy)

(−x)⋅y+x⋅y=(−x+x)⋅y=0⋅y=0(-x) \cdot y + x \cdot y = (-x + x) \cdot y = 0 \cdot y = 0

Also ist (−x)⋅y(-x) \cdot y das additive Inverse von x⋅yx \cdot y.

Beispiel

Kürzungsregel

Gilt aus ax=ayax = ay immer x=yx = y?

Nein! In Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}: [3]⋅[2]=[0]=[3]⋅[4][3] \cdot [2] = [0] = [3] \cdot [4], aber [2]≠[4][2] \neq [4].

Die Kürzungsregel gilt nur, wenn aa kein Nullteiler ist.

Zusammenfassung

  • 0⋅x=00 \cdot x = 0, (−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x, (−x)(−y)=xy(-x)(-y) = xy

  • Binomische Formeln nur bei Kommutativität

  • Kürzungsregel nur für Nicht-Nullteiler

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