Lektion 2.6

Einheiten und Einheitengruppe

18 min Lesezeit

In einem Ring muss nicht jedes Element ein multiplikatives Inverses haben. In Z\mathbb{Z} haben nur ±1\pm 1 ein Inverses. Die invertierbaren Elemente heißen Einheiten und bilden eine Gruppe.

Definition

Einheit und Einheitengruppe

Ein Element x∈Rx \in R heißt Einheit, wenn es y∈Ry \in R gibt mit xy=yx=1Rxy = yx = 1_R.

Die Einheitengruppe ist:
R×={x∈R∣x ist invertierbar}R^\times = \{x \in R \mid x \text{ ist invertierbar}\}

(R×,⋅)(R^\times, \cdot) ist eine Gruppe.

R×={invertierbare Elemente}R^\times = \{\text{invertierbare Elemente}\}
Beispiel

Einheiten in verschiedenen Ringen

Z\mathbb{Z}: Z×={1,−1}\mathbb{Z}^\times = \{1, -1\}

Körper (Q,R,C\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}): K×=K∖{0}K^\times = K \setminus \{0\}

Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}: (Z/nZ)×={[a]∣gcd⁡(a,n)=1}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = \{[a] \mid \gcd(a, n) = 1\}

Beispiel

Einheiten in Z/12Z\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

Welche [a][a] sind invertierbar? Nur wenn gcd⁡(a,12)=1\gcd(a, 12) = 1:

gcd⁡(1,12)=1\gcd(1, 12) = 1 ✓
gcd⁡(5,12)=1\gcd(5, 12) = 1 ✓
gcd⁡(7,12)=1\gcd(7, 12) = 1 ✓
gcd⁡(11,12)=1\gcd(11, 12) = 1 ✓

(Z/12Z)×={[1],[5],[7],[11]}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times = \{[1], [5], [7], [11]\} — 4 Elemente

Zusammenfassung

  • Einheit = multiplikativ invertierbares Element

  • Z×={±1}\mathbb{Z}^\times = \{\pm 1\}

  • (Z/nZ)×=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = Elemente mit gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n) = 1

  • ∣(Z/nZ)×∣=φ(n)|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times| = \varphi(n)

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wie viele Einheiten hat Z/10Z\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}?

Lektion 2.6 · Ringe
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Einheiten und Einheitengruppe

In einem Ring muss nicht jedes Element ein multiplikatives Inverses haben. In Z\mathbb{Z} haben nur ±1\pm 1 ein Inverses. Die invertierbaren Elemente heißen Einheiten und bilden eine Gruppe.

Definition

Einheit und Einheitengruppe

Ein Element x∈Rx \in R heißt Einheit, wenn es y∈Ry \in R gibt mit xy=yx=1Rxy = yx = 1_R.

Die Einheitengruppe ist:
R×={x∈R∣x ist invertierbar}R^\times = \{x \in R \mid x \text{ ist invertierbar}\}

(R×,⋅)(R^\times, \cdot) ist eine Gruppe.

R×={invertierbare Elemente}R^\times = \{\text{invertierbare Elemente}\}
Beispiel

Einheiten in verschiedenen Ringen

Z\mathbb{Z}: Z×={1,−1}\mathbb{Z}^\times = \{1, -1\}

Körper (Q,R,C\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}): K×=K∖{0}K^\times = K \setminus \{0\}

Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}: (Z/nZ)×={[a]∣gcd⁡(a,n)=1}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = \{[a] \mid \gcd(a, n) = 1\}

Beispiel

Einheiten in Z/12Z\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

Welche [a][a] sind invertierbar? Nur wenn gcd⁡(a,12)=1\gcd(a, 12) = 1:

gcd⁡(1,12)=1\gcd(1, 12) = 1 ✓
gcd⁡(5,12)=1\gcd(5, 12) = 1 ✓
gcd⁡(7,12)=1\gcd(7, 12) = 1 ✓
gcd⁡(11,12)=1\gcd(11, 12) = 1 ✓

(Z/12Z)×={[1],[5],[7],[11]}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times = \{[1], [5], [7], [11]\} — 4 Elemente

Zusammenfassung

  • Einheit = multiplikativ invertierbares Element

  • Z×={±1}\mathbb{Z}^\times = \{\pm 1\}

  • (Z/nZ)×=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = Elemente mit gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n) = 1

  • ∣(Z/nZ)×∣=φ(n)|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times| = \varphi(n)

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