Lektion 2.5

Ringhomomorphismen

18 min Lesezeit

Bei Gruppen haben wir Homomorphismen kennengelernt. Bei Ringen gibt es analog Ringhomomorphismen: Abbildungen, die Addition und Multiplikation respektieren.

Definition

Ringhomomorphismus

Eine Abbildung Φ:R→S\Phi: R \to S heißt Ringhomomorphismus, wenn:

1. Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)\Phi(x + y) = \Phi(x) + \Phi(y)
2. Φ(x⋅y)=Φ(x)⋅Φ(y)\Phi(x \cdot y) = \Phi(x) \cdot \Phi(y)
3. Φ(1R)=1S\Phi(1_R) = 1_S

Daraus folgt automatisch: Φ(0R)=0S\Phi(0_R) = 0_S und Φ(−x)=−Φ(x)\Phi(-x) = -\Phi(x).

Φ(xy)=Φ(x)Φ(y),  Φ(1)=1\Phi(xy) = \Phi(x)\Phi(y), \; \Phi(1) = 1
Beispiel

Kanonischer Homomorphismus Z→R\mathbb{Z} \to R

Für jeden Ring RR gibt es genau einen Homomorphismus Z→R\mathbb{Z} \to R:

Φ(n)=n⋅1R\Phi(n) = n \cdot 1_R (n-fache Addition von 1R1_R)

Alle Werte sind durch Φ(1)=1R\Phi(1) = 1_R eindeutig bestimmt.

Beispiel

Reduktionshomomorphismus

π:Z→Z/nZ,a↦[a]\pi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \quad a \mapsto [a]

Prüfung: π(ab)=[ab]=[a][b]=π(a)π(b)\pi(ab) = [ab] = [a][b] = \pi(a)\pi(b) ✓

Definition

Kern und Charakteristik

Kern: Kern(Φ)={x∈R∣Φ(x)=0S}\text{Kern}(\Phi) = \{x \in R \mid \Phi(x) = 0_S\}

Charakteristik: char(R)\text{char}(R) ist die kleinste positive Zahl nn mit n⋅1R=0Rn \cdot 1_R = 0_R.
Falls keine existiert: char(R)=0\text{char}(R) = 0.

Beispiele:
- char(Z)=0\text{char}(\mathbb{Z}) = 0
- char(Z/nZ)=n\text{char}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n

char(R)⋅1R=0R\text{char}(R) \cdot 1_R = 0_R

Zusammenfassung

  • Ringhomomorphismen erhalten ++, ⋅\cdot und 11

  • Von Z\mathbb{Z} in jeden Ring gibt es genau einen Homomorphismus

  • char(Z/nZ)=n\text{char}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n, char(Z)=0\text{char}(\mathbb{Z}) = 0

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Was ist char(Z/7Z)\text{char}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})?

Lektion 2.5 · Ringe
• • •

Ringhomomorphismen

Bei Gruppen haben wir Homomorphismen kennengelernt. Bei Ringen gibt es analog Ringhomomorphismen: Abbildungen, die Addition und Multiplikation respektieren.

Definition

Ringhomomorphismus

Eine Abbildung Φ:R→S\Phi: R \to S heißt Ringhomomorphismus, wenn:

1. Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)\Phi(x + y) = \Phi(x) + \Phi(y)
2. Φ(x⋅y)=Φ(x)⋅Φ(y)\Phi(x \cdot y) = \Phi(x) \cdot \Phi(y)
3. Φ(1R)=1S\Phi(1_R) = 1_S

Daraus folgt automatisch: Φ(0R)=0S\Phi(0_R) = 0_S und Φ(−x)=−Φ(x)\Phi(-x) = -\Phi(x).

Φ(xy)=Φ(x)Φ(y),  Φ(1)=1\Phi(xy) = \Phi(x)\Phi(y), \; \Phi(1) = 1
Beispiel

Kanonischer Homomorphismus Z→R\mathbb{Z} \to R

Für jeden Ring RR gibt es genau einen Homomorphismus Z→R\mathbb{Z} \to R:

Φ(n)=n⋅1R\Phi(n) = n \cdot 1_R (n-fache Addition von 1R1_R)

Alle Werte sind durch Φ(1)=1R\Phi(1) = 1_R eindeutig bestimmt.

Beispiel

Reduktionshomomorphismus

π:Z→Z/nZ,a↦[a]\pi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \quad a \mapsto [a]

Prüfung: π(ab)=[ab]=[a][b]=π(a)π(b)\pi(ab) = [ab] = [a][b] = \pi(a)\pi(b) ✓

Definition

Kern und Charakteristik

Kern: Kern(Φ)={x∈R∣Φ(x)=0S}\text{Kern}(\Phi) = \{x \in R \mid \Phi(x) = 0_S\}

Charakteristik: char(R)\text{char}(R) ist die kleinste positive Zahl nn mit n⋅1R=0Rn \cdot 1_R = 0_R.
Falls keine existiert: char(R)=0\text{char}(R) = 0.

Beispiele:
- char(Z)=0\text{char}(\mathbb{Z}) = 0
- char(Z/nZ)=n\text{char}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n

char(R)⋅1R=0R\text{char}(R) \cdot 1_R = 0_R

Zusammenfassung

  • Ringhomomorphismen erhalten ++, ⋅\cdot und 11

  • Von Z\mathbb{Z} in jeden Ring gibt es genau einen Homomorphismus

  • char(Z/nZ)=n\text{char}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n, char(Z)=0\text{char}(\mathbb{Z}) = 0

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