Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$:
- Kommutativ, Einselement $1$, Nullelement $0$
- Nicht jedes Element hat ein multiplikatives Inverses

Die rationalen, reellen, komplexen Zahlen $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$:
- Kommutativ
- Jedes Element $\neq 0$ ist invertierbar (Körper)

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}$ mit:

$[a] + [b] = [a + b]$
$[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$

Beispiel in $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$:
$[4] + [5] = [9] = [3]$
$[4] \cdot [5] = [20] = [2]$

Die Menge aller Abbildungen $f: M \to R$ ist ein Ring:

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$

Nullelement: $0(x) = 0_R$
Einselement: $1(x) = 1_R$

Spezialfall: Stetige Funktionen auf $[0,1]$

Die $n \times n$-Matrizen über $R$ bilden einen Ring.

Für $n \geq 2$ ist er NICHT kommutativ!

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = BA$

In manchen Ringen gilt $a \cdot b = 0$ obwohl $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Solche Elemente heißen Nullteiler.

In $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$: $[2] \cdot [3] = [6] = [0]$

In $M_2(\mathbb{R})$:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

In $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ gibt es keine Nullteiler!