Lektion 3.3

Strukturen und Interpretation

12 min Lesezeit

Eine Formel wie "∀x:∃y:x<y\forall x: \exists y: x < y" hat für sich allein keinen Wahrheitswert. Er hängt davon ab, worüber wir reden!

In den natürlichen Zahlen ist sie wahr (zu jeder Zahl gibt es eine größere).
In einer endlichen Menge wie {1,2,3}\{1, 2, 3\} ist sie falsch (3 hat keinen Nachfolger).

Wir brauchen also eine Struktur, die festlegt, worüber wir sprechen.

Definition

Struktur

Eine Struktur legt fest:

1. Das Universum – die Menge der Objekte, über die wir reden
2. Die Interpretation – was die Prädikate bedeuten

Beispiel für N\mathbb{N}:
- Universum: {0,1,2,3,…}\{0, 1, 2, 3, \ldots\}
- Das Prädikat "<<" bedeutet "kleiner als" im üblichen Sinn

Beispiel für eine endliche Struktur:
- Universum: {a,b,c}\{a, b, c\}
- Das Prädikat "<<" könnte a<b<ca < b < c bedeuten

Struktur=(Universum,Interpretation der Pra¨dikate)\text{Struktur} = (\text{Universum}, \text{Interpretation der Prädikate})
Beispiel

Dieselbe Formel, verschiedene Wahrheitswerte

Betrachte: "∃x:∀y:x≤y\exists x: \forall y: x \leq y" ("Es gibt ein kleinstes Element")

In N\mathbb{N}: Wahr! Die 0 ist kleiner oder gleich jeder natürlichen Zahl.

In Z\mathbb{Z}: Falsch! Es gibt keine kleinste ganze Zahl.

In {5,7,9}\{5, 7, 9\}: Wahr! Die 5 ist das kleinste Element.

Die Formel ist dieselbe – aber der Wahrheitswert hängt von der Struktur ab.

Zusammenfassung

  • Formeln bekommen ihren Wahrheitswert erst durch eine Struktur

  • Eine Struktur besteht aus einem Universum und einer Interpretation

  • Dieselbe Formel kann in verschiedenen Strukturen verschiedene Wahrheitswerte haben

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

In welcher Struktur gilt "∃x:∀y:x≤y\exists x: \forall y: x \leq y" (es gibt ein kleinstes Element)?

Lektion 3.3 · Prädikatenlogik
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Strukturen und Interpretation

Eine Formel wie "∀x:∃y:x<y\forall x: \exists y: x < y" hat für sich allein keinen Wahrheitswert. Er hängt davon ab, worüber wir reden!

In den natürlichen Zahlen ist sie wahr (zu jeder Zahl gibt es eine größere).
In einer endlichen Menge wie {1,2,3}\{1, 2, 3\} ist sie falsch (3 hat keinen Nachfolger).

Wir brauchen also eine Struktur, die festlegt, worüber wir sprechen.

Definition

Struktur

Eine Struktur legt fest:

1. Das Universum – die Menge der Objekte, über die wir reden
2. Die Interpretation – was die Prädikate bedeuten

Beispiel für N\mathbb{N}:
- Universum: {0,1,2,3,…}\{0, 1, 2, 3, \ldots\}
- Das Prädikat "<<" bedeutet "kleiner als" im üblichen Sinn

Beispiel für eine endliche Struktur:
- Universum: {a,b,c}\{a, b, c\}
- Das Prädikat "<<" könnte a<b<ca < b < c bedeuten

Struktur=(Universum,Interpretation der Pra¨dikate)\text{Struktur} = (\text{Universum}, \text{Interpretation der Prädikate})
Beispiel

Dieselbe Formel, verschiedene Wahrheitswerte

Betrachte: "∃x:∀y:x≤y\exists x: \forall y: x \leq y" ("Es gibt ein kleinstes Element")

In N\mathbb{N}: Wahr! Die 0 ist kleiner oder gleich jeder natürlichen Zahl.

In Z\mathbb{Z}: Falsch! Es gibt keine kleinste ganze Zahl.

In {5,7,9}\{5, 7, 9\}: Wahr! Die 5 ist das kleinste Element.

Die Formel ist dieselbe – aber der Wahrheitswert hängt von der Struktur ab.

Zusammenfassung

  • Formeln bekommen ihren Wahrheitswert erst durch eine Struktur

  • Eine Struktur besteht aus einem Universum und einer Interpretation

  • Dieselbe Formel kann in verschiedenen Strukturen verschiedene Wahrheitswerte haben

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