Ein direkter Beweis für "$A \Rightarrow B$" geht so:

1. Nimm an, dass A wahr ist
2. Leite durch logische Schritte B ab
3. Schließe: Also gilt $A \Rightarrow B$

Beispiel: Beweise "Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade."

Sei $n$ gerade. Dann gibt es ein $k$ mit $n = 2k$.
Also: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2)$.
Das ist ein Vielfaches von 2, also gerade.

Die Kontraposition nutzt: $A \Rightarrow B$ ist äquivalent zu $\neg B \Rightarrow \neg A$.

Beispiel: Beweise "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade."

Stattdessen zeigen wir: "Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade."

Sei $n$ ungerade, also $n = 2k + 1$.
Dann: $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$
Das ist ungerade (Rest 1 bei Division durch 2).

Ein Widerspruchsbeweis zeigt:

1. Nimm das Gegenteil der Behauptung an
2. Leite daraus einen Widerspruch ab
3. Schließe: Also muss die ursprüngliche Behauptung wahr sein

Beispiel: Beweise "$\sqrt{2}$ ist irrational."

Angenommen, $\sqrt{2}$ wäre rational, also $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ (gekürzt).
Dann $2 = \frac{p^2}{q^2}$, also $p^2 = 2q^2$.
Also ist $p^2$ gerade, also $p$ gerade, also $p = 2k$...
...und schließlich: $p$ und $q$ sind beide gerade – Widerspruch zur gekürzten Form!