Lektion 1.3

Operationen auf Mengen

25 min Lesezeit

Wir haben gelernt, was Mengen sind und wie man sie beschreibt. Jetzt fragen wir: Was kann man mit Mengen tun?

Aus der Schule kennst du vielleicht Venn-Diagramme – überlappende Kreise, die Mengen darstellen. Diese Diagramme visualisieren die grundlegenden Operationen, mit denen wir aus gegebenen Mengen neue Mengen konstruieren können.

Die wichtigsten Operationen sind:
- Vereinigung: Alles, was in mindestens einer der Mengen liegt
- Schnitt: Alles, was in beiden Mengen liegt
- Differenz: Alles, was in der einen, aber nicht in der anderen liegt

Diese Operationen bilden das Handwerkszeug für das Arbeiten mit Mengen.

Definition

Teilmenge

Bevor wir zu den Operationen kommen, brauchen wir einen wichtigen Begriff: die Teilmenge.

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge von $B$ , wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist.

Wir schreiben: $A \subseteq B$

In Worten: " $A$ ist Teilmenge von $B$ " oder " $A$ ist in $B$ enthalten".

Beachte: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst ( $A \subseteq A$ ), und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge ( $\emptyset \subseteq A$ ).

A \subseteq B \;\text{bedeutet: alle Elemente von } A \text{ liegen auch in } B

Beispiel

Teilmengenbeziehungen

Betrachte die Mengen $A = \{1, 2\}$ , $B = \{1, 2, 3, 4\}$ , $C = \{2, 3\}$ .

$A \subseteq B$ ? Ja! Jedes Element von $A$ (also 1 und 2) liegt auch in $B$ .

$C \subseteq B$ ? Ja! 2 und 3 liegen beide in $B$ .

$A \subseteq C$ ? Nein! $1 \in A$ , aber $1 \notin C$ .

Für die Zahlenmengen gilt:
$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist rational, und so weiter.

Definition

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ (oder in beiden) liegen.

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$

Gelesen: "A vereinigt mit B" oder "A Vereinigung B"

Das Symbol $\cup$ sieht aus wie ein "U" für "Union" (englisch für Vereinigung).

A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}

Beispiel

Vereinigung berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{2, 3, 4, 5\}$ .

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Wir nehmen alle Elemente aus $A$ und alle aus $B$ . Elemente, die in beiden vorkommen (hier: 2 und 3), werden nur einmal aufgeführt.

Weitere Beispiele:
$\{a, b\} \cup \{c, d\} = \{a, b, c, d\}$
$\{1, 2\} \cup \emptyset = \{1, 2\}$
$A \cup A = A$

Definition

Schnitt (Durchschnitt)

Der Schnitt (oder Durchschnitt) zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und in $B$ liegen.

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$

Gelesen: "A geschnitten mit B" oder "A Schnitt B"

Wenn $A \cap B = \emptyset$ , heißen $A$ und $B$ disjunkt – sie haben keine gemeinsamen Elemente.

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}

Beispiel

Schnitt berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{2, 3, 4, 5\}$ .

$A \cap B = \{2, 3\}$

Nur 2 und 3 liegen in beiden Mengen.

Weitere Beispiele:
$\{1, 2\} \cap \{3, 4\} = \emptyset$ (disjunkt)
$\{a, b, c\} \cap \{b, c, d\} = \{b, c\}$
$A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cap A = A$

Definition

Differenz

Die Differenz $A \setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$ , aber nicht in $B$ liegen.

$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}$

Gelesen: "A ohne B" oder "A minus B"

Die Differenz ist nicht symmetrisch: Im Allgemeinen gilt $A \setminus B \neq B \setminus A$ .

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}

Beispiel

Differenz berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3, 4\}$ und $B = \{3, 4, 5, 6\}$ .

$A \setminus B = \{1, 2\}$ – die Elemente 1 und 2 liegen in $A$ , aber nicht in $B$

$B \setminus A = \{5, 6\}$ – die Elemente 5 und 6 liegen in $B$ , aber nicht in $A$

Beachte: $A \setminus B \neq B \setminus A$ !

Weitere Beispiele:
$\{1, 2, 3\} \setminus \{2\} = \{1, 3\}$
$A \setminus \emptyset = A$
$A \setminus A = \emptyset$

Zusammenfassung

$A \subseteq B$ : Jedes Element von A liegt auch in B (Teilmenge)
$A \cup B$ : Alle Elemente aus A oder B (Vereinigung)
$A \cap B$ : Alle Elemente aus A und B (Schnitt)
$A \setminus B$ : Alle Elemente aus A, die nicht in B liegen (Differenz)

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Seien $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{2, 4\}$ . Was ist $A \cap B$ ?

$\{1, 2, 3, 4\}$

$\{2\}$

$\{1, 3\}$

$\emptyset$

Aufgabe 2Multiple Choice

Was ist $\{1, 2, 3\} \cup \{3, 4, 5\}$ ?

$\{3\}$

$\{1, 2, 4, 5\}$

$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}$

Lektion 1.3 · Mengen und Operationen

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Operationen auf Mengen

Wir haben gelernt, was Mengen sind und wie man sie beschreibt. Jetzt fragen wir: Was kann man mit Mengen tun?

Diese Operationen bilden das Handwerkszeug für das Arbeiten mit Mengen.

Definition

Teilmenge

Bevor wir zu den Operationen kommen, brauchen wir einen wichtigen Begriff: die Teilmenge.

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge von $B$ , wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist.

Wir schreiben: $A \subseteq B$

In Worten: " $A$ ist Teilmenge von $B$ " oder " $A$ ist in $B$ enthalten".

Beachte: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst ( $A \subseteq A$ ), und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge ( $\emptyset \subseteq A$ ).

A \subseteq B \;\text{bedeutet: alle Elemente von } A \text{ liegen auch in } B

Beispiel

Teilmengenbeziehungen

Betrachte die Mengen $A = \{1, 2\}$ , $B = \{1, 2, 3, 4\}$ , $C = \{2, 3\}$ .

$A \subseteq B$ ? Ja! Jedes Element von $A$ (also 1 und 2) liegt auch in $B$ .

$C \subseteq B$ ? Ja! 2 und 3 liegen beide in $B$ .

$A \subseteq C$ ? Nein! $1 \in A$ , aber $1 \notin C$ .

Für die Zahlenmengen gilt:
$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist rational, und so weiter.

Definition

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ (oder in beiden) liegen.

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$

Gelesen: "A vereinigt mit B" oder "A Vereinigung B"

Das Symbol $\cup$ sieht aus wie ein "U" für "Union" (englisch für Vereinigung).

A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}

Beispiel

Vereinigung berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{2, 3, 4, 5\}$ .

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Wir nehmen alle Elemente aus $A$ und alle aus $B$ . Elemente, die in beiden vorkommen (hier: 2 und 3), werden nur einmal aufgeführt.

Weitere Beispiele:
$\{a, b\} \cup \{c, d\} = \{a, b, c, d\}$
$\{1, 2\} \cup \emptyset = \{1, 2\}$
$A \cup A = A$

Definition

Schnitt (Durchschnitt)

Der Schnitt (oder Durchschnitt) zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und in $B$ liegen.

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$

Gelesen: "A geschnitten mit B" oder "A Schnitt B"

Wenn $A \cap B = \emptyset$ , heißen $A$ und $B$ disjunkt – sie haben keine gemeinsamen Elemente.

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}

Beispiel

Schnitt berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{2, 3, 4, 5\}$ .

$A \cap B = \{2, 3\}$

Nur 2 und 3 liegen in beiden Mengen.

Weitere Beispiele:
$\{1, 2\} \cap \{3, 4\} = \emptyset$ (disjunkt)
$\{a, b, c\} \cap \{b, c, d\} = \{b, c\}$
$A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cap A = A$

Definition

Differenz

Die Differenz $A \setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$ , aber nicht in $B$ liegen.

$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}$

Gelesen: "A ohne B" oder "A minus B"

Die Differenz ist nicht symmetrisch: Im Allgemeinen gilt $A \setminus B \neq B \setminus A$ .

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}

Beispiel

Differenz berechnen

Seien $A = \{1, 2, 3, 4\}$ und $B = \{3, 4, 5, 6\}$ .

$A \setminus B = \{1, 2\}$ – die Elemente 1 und 2 liegen in $A$ , aber nicht in $B$

$B \setminus A = \{5, 6\}$ – die Elemente 5 und 6 liegen in $B$ , aber nicht in $A$

Beachte: $A \setminus B \neq B \setminus A$ !

Weitere Beispiele:
$\{1, 2, 3\} \setminus \{2\} = \{1, 3\}$
$A \setminus \emptyset = A$
$A \setminus A = \emptyset$

Zusammenfassung

$A \subseteq B$ : Jedes Element von A liegt auch in B (Teilmenge)
$A \cup B$ : Alle Elemente aus A oder B (Vereinigung)
$A \cap B$ : Alle Elemente aus A und B (Schnitt)
$A \setminus B$ : Alle Elemente aus A, die nicht in B liegen (Differenz)

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