Lektion 1.2

Was ist eine Menge? – Definition und Schreibweisen

20 min Lesezeit

Nachdem wir verstanden haben, warum die Mengenlehre entstanden ist, wollen wir nun präzise definieren, was eine Menge ist und wie man Mengen beschreibt.

In der Praxis arbeiten wir mit der intuitiven Vorstellung: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte nennen wir die Elemente der Menge.

Der entscheidende Punkt ist: Eine Menge ist vollständig durch ihre Elemente bestimmt. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Die Reihenfolge der Elemente oder wie oft wir sie aufschreiben spielt keine Rolle.

Definition

Element und Elementbeziehung

Ist MM eine Menge und xx ein Objekt, so schreiben wir:

x∈Mx \in M – gelesen: "xx ist Element von MM" oder "xx liegt in MM"

x∉Mx \notin M – gelesen: "xx ist kein Element von MM"

Die Schreibweise ∈\in wurde von Giuseppe Peano eingeführt und wird in der gesamten Mathematik verwendet.

x∈Moderx∉Mx \in M \quad \text{oder} \quad x \notin M

Wie beschreibt man eine Menge?

Es gibt zwei grundlegende Arten, eine Menge zu beschreiben:

1. Aufzählende Schreibweise: Man listet alle Elemente explizit auf.

2. Beschreibende Schreibweise: Man gibt eine Eigenschaft an, die genau die Elemente der Menge charakterisiert.

Beide Methoden haben ihre Vor- und Nachteile. Die aufzählende Schreibweise ist konkret, funktioniert aber nur für endliche Mengen. Die beschreibende Schreibweise ist flexibler und funktioniert auch für unendliche Mengen.

Beispiel

Aufzählende Schreibweise

Bei der aufzählenden Schreibweise listen wir die Elemente in geschweiften Klammern auf:

{1,2,3}\{1, 2, 3\} – die Menge mit den Elementen 1, 2 und 3

{a,b,c,d}\{a, b, c, d\} – die Menge mit den Buchstaben a, b, c, d

{rot,gru¨n,blau}\{\text{rot}, \text{grün}, \text{blau}\} – die Menge der Grundfarben

Wichtige Konventionen:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: {1,2,3}={3,1,2}\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}

Wiederholungen werden ignoriert: {1,1,2,2,3}={1,2,3}\{1, 1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}

Bei größeren Mengen nutzt man "..." : {1,2,3,…,100}\{1, 2, 3, \ldots, 100\}

Beispiel

Beschreibende Schreibweise

Bei der beschreibenden Schreibweise geben wir eine Eigenschaft an:

{x∣x ist gerade}\{x \mid x \text{ ist gerade}\} – die Menge aller geraden Zahlen

Der senkrechte Strich ∣\mid bedeutet "für die gilt" oder "sodass".

Häufig geben wir auch an, aus welcher "Grundmenge" die Elemente stammen:

{x∈N∣x ist gerade}\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ist gerade}\} – die geraden natürlichen Zahlen

Gelesen: "Die Menge aller xx aus N\mathbb{N}, für die gilt: xx ist gerade"

{x∈M∣P(x)}– alle x aus M, die P erfu¨llen\{x \in M \mid P(x)\} \quad \text{-- alle } x \text{ aus } M \text{, die } P \text{ erfüllen}
Definition

Wichtige Zahlenmengen

In der Mathematik gibt es Standardbezeichnungen für wichtige Mengen:

N={1,2,3,4,…}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} – die natürlichen Zahlen

N0={0,1,2,3,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} – die natürlichen Zahlen mit Null

Z={…,−2,−1,0,1,2,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} – die ganzen Zahlen

Q\mathbb{Q} – die rationalen Zahlen (Brüche)

R\mathbb{R} – die reellen Zahlen

Die Doppelstrich-Schreibweise ("Blackboard Bold") ist Standard in der Mathematik.

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Definition

Die leere Menge

Eine besonders wichtige Menge ist die leere Menge – die Menge, die keine Elemente enthält.

Wir schreiben: ∅\emptyset oder {}\{\}

Die leere Menge ist eindeutig: Es gibt nur eine Menge ohne Elemente.

Die leere Menge ist kein "Nichts" – sie ist eine wohldefinierte Menge, die zufällig leer ist. Stell dir einen leeren Beutel vor: Der Beutel existiert, auch wenn nichts drin ist.

∅={}und∣∅∣=0\emptyset = \{\} \quad \text{und} \quad |\emptyset| = 0
Definition

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen AA und BB heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

In Worten: AA und BB sind gleich genau dann, wenn jedes Element von AA auch Element von BB ist und umgekehrt.

Dieses Prinzip heißt Extensionalitätsprinzip: Eine Menge ist vollständig durch ihre Elemente bestimmt.

A=B  ⇔  gleiche ElementeA = B \;\Leftrightarrow\; \text{gleiche Elemente}

Zusammenfassung

  • Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten

  • x∈Mx \in M bedeutet: xx ist Element von MM

  • Aufzählende Schreibweise: {1,2,3}\{1, 2, 3\}

  • Beschreibende Schreibweise: {x∈M∣P(x)}\{x \in M \mid P(x)\}

  • Die leere Menge ∅\emptyset enthält keine Elemente

  • Zwei Mengen sind gleich wenn sie dieselben Elemente haben

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Aufgabe 2Freitext

Schreibe die Menge aller ganzen Zahlen zwischen -2 und 2 (einschließlich) in aufzählender Schreibweise.

Lektion 1.2 · Mengen und Operationen
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Was ist eine Menge? – Definition und Schreibweisen

Nachdem wir verstanden haben, warum die Mengenlehre entstanden ist, wollen wir nun präzise definieren, was eine Menge ist und wie man Mengen beschreibt.

In der Praxis arbeiten wir mit der intuitiven Vorstellung: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte nennen wir die Elemente der Menge.

Der entscheidende Punkt ist: Eine Menge ist vollständig durch ihre Elemente bestimmt. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Die Reihenfolge der Elemente oder wie oft wir sie aufschreiben spielt keine Rolle.

Definition

Element und Elementbeziehung

Ist MM eine Menge und xx ein Objekt, so schreiben wir:

x∈Mx \in M – gelesen: "xx ist Element von MM" oder "xx liegt in MM"

x∉Mx \notin M – gelesen: "xx ist kein Element von MM"

Die Schreibweise ∈\in wurde von Giuseppe Peano eingeführt und wird in der gesamten Mathematik verwendet.

x∈Moderx∉Mx \in M \quad \text{oder} \quad x \notin M

Wie beschreibt man eine Menge?

Es gibt zwei grundlegende Arten, eine Menge zu beschreiben:

1. Aufzählende Schreibweise: Man listet alle Elemente explizit auf.

2. Beschreibende Schreibweise: Man gibt eine Eigenschaft an, die genau die Elemente der Menge charakterisiert.

Beide Methoden haben ihre Vor- und Nachteile. Die aufzählende Schreibweise ist konkret, funktioniert aber nur für endliche Mengen. Die beschreibende Schreibweise ist flexibler und funktioniert auch für unendliche Mengen.

Beispiel

Aufzählende Schreibweise

Bei der aufzählenden Schreibweise listen wir die Elemente in geschweiften Klammern auf:

{1,2,3}\{1, 2, 3\} – die Menge mit den Elementen 1, 2 und 3

{a,b,c,d}\{a, b, c, d\} – die Menge mit den Buchstaben a, b, c, d

{rot,gru¨n,blau}\{\text{rot}, \text{grün}, \text{blau}\} – die Menge der Grundfarben

Wichtige Konventionen:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: {1,2,3}={3,1,2}\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}

Wiederholungen werden ignoriert: {1,1,2,2,3}={1,2,3}\{1, 1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}

Bei größeren Mengen nutzt man "..." : {1,2,3,…,100}\{1, 2, 3, \ldots, 100\}

Beispiel

Beschreibende Schreibweise

Bei der beschreibenden Schreibweise geben wir eine Eigenschaft an:

{x∣x ist gerade}\{x \mid x \text{ ist gerade}\} – die Menge aller geraden Zahlen

Der senkrechte Strich ∣\mid bedeutet "für die gilt" oder "sodass".

Häufig geben wir auch an, aus welcher "Grundmenge" die Elemente stammen:

{x∈N∣x ist gerade}\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ist gerade}\} – die geraden natürlichen Zahlen

Gelesen: "Die Menge aller xx aus N\mathbb{N}, für die gilt: xx ist gerade"

{x∈M∣P(x)}– alle x aus M, die P erfu¨llen\{x \in M \mid P(x)\} \quad \text{-- alle } x \text{ aus } M \text{, die } P \text{ erfüllen}
Definition

Wichtige Zahlenmengen

In der Mathematik gibt es Standardbezeichnungen für wichtige Mengen:

N={1,2,3,4,…}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} – die natürlichen Zahlen

N0={0,1,2,3,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} – die natürlichen Zahlen mit Null

Z={…,−2,−1,0,1,2,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} – die ganzen Zahlen

Q\mathbb{Q} – die rationalen Zahlen (Brüche)

R\mathbb{R} – die reellen Zahlen

Die Doppelstrich-Schreibweise ("Blackboard Bold") ist Standard in der Mathematik.

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Definition

Die leere Menge

Eine besonders wichtige Menge ist die leere Menge – die Menge, die keine Elemente enthält.

Wir schreiben: ∅\emptyset oder {}\{\}

Die leere Menge ist eindeutig: Es gibt nur eine Menge ohne Elemente.

Die leere Menge ist kein "Nichts" – sie ist eine wohldefinierte Menge, die zufällig leer ist. Stell dir einen leeren Beutel vor: Der Beutel existiert, auch wenn nichts drin ist.

∅={}und∣∅∣=0\emptyset = \{\} \quad \text{und} \quad |\emptyset| = 0
Definition

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen AA und BB heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

In Worten: AA und BB sind gleich genau dann, wenn jedes Element von AA auch Element von BB ist und umgekehrt.

Dieses Prinzip heißt Extensionalitätsprinzip: Eine Menge ist vollständig durch ihre Elemente bestimmt.

A=B  ⇔  gleiche ElementeA = B \;\Leftrightarrow\; \text{gleiche Elemente}

Zusammenfassung

  • Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten

  • x∈Mx \in M bedeutet: xx ist Element von MM

  • Aufzählende Schreibweise: {1,2,3}\{1, 2, 3\}

  • Beschreibende Schreibweise: {x∈M∣P(x)}\{x \in M \mid P(x)\}

  • Die leere Menge ∅\emptyset enthält keine Elemente

  • Zwei Mengen sind gleich wenn sie dieselben Elemente haben

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