Eine Funktion $f: A \to B$ ist eine Relation $f \subseteq A \times B$ mit zwei Eigenschaften:

1. Jedes Element aus $A$ hat ein Bild (Totalität)
2. Jedes Element aus $A$ hat genau ein Bild (Eindeutigkeit)

Wir schreiben $f(a) = b$ für das eindeutige $b$ mit $(a, b) \in f$.

$A$ heißt Definitionsbereich, $B$ heißt Zielbereich.

Eine Funktion $f: A \to B$ heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente verschiedene Bilder haben:

Wenn $f(a_1) = f(a_2)$, dann $a_1 = a_2$.

Injektiv bedeutet: Kein Bild wird doppelt getroffen.

Beispiel: $f(x) = 2x$ ist injektiv.
Gegenbeispiel: $f(x) = x^2$ ist nicht injektiv ($f(-1) = f(1) = 1$).

Eine Funktion $f: A \to B$ heißt surjektiv, wenn jedes Element des Zielbereichs getroffen wird:

Für jedes $b \in B$ gibt es ein $a \in A$ mit $f(a) = b$.

Surjektiv bedeutet: Jedes mögliche Bild wird auch erreicht.

Beispiel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3$ ist surjektiv.
Gegenbeispiel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$ ist nicht surjektiv (negative Zahlen werden nicht getroffen).

Eine Funktion $f: A \to B$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Bijektiv bedeutet: Jedes Element des Zielbereichs hat genau ein Urbild.

Eine bijektive Funktion hat eine Umkehrfunktion $f^{-1}: B \to A$.

Beispiel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x + 1$ ist bijektiv.