Lektion 3.2

Definition eines Vektorraums

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Vektorräume sind eines der zentralen Konzepte der linearen Algebra. Sie verallgemeinern unsere intuitive Vorstellung von "Vektoren als Pfeile" zu einer abstrakten algebraischen Struktur.

Die Idee ist einfach: Wir wollen mit Objekten rechnen können – sie addieren und mit Zahlen multiplizieren – und dabei sollen die "üblichen" Rechenregeln gelten.

Definition

Vektorraum

Sei K ein Körper (z.B. ℝ oder ℂ). Ein K-Vektorraum (oder Vektorraum über K) ist eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen: - Addition: + : V × V → V - Skalarmultiplikation: · : K × V → V die folgende Axiome erfüllen:

\text{Für alle } v, w, u \in V \text{ und } \lambda, \mu \in K :\\[0.5em] \begin{aligned} \text{(V1)} \quad & v + w = w + v & \text{(Kommutativität)} \\ \text{(V2)} \quad & (v + w) + u = v + (w + u) & \text{(Assoziativität)} \\ \text{(V3)} \quad & \exists 0 \in V : v + 0 = v & \text{(Nullvektor)} \\ \text{(V4)} \quad & \exists (-v) \in V : v + (-v) = 0 & \text{(Inverses)} \\ \text{(V5)} \quad & \lambda \cdot (v + w) = \lambda v + \lambda w & \text{(Distributivität I)} \\ \text{(V6)} \quad & (\lambda + \mu) \cdot v = \lambda v + \mu v & \text{(Distributivität II)} \\ \text{(V7)} \quad & (\lambda\mu) \cdot v = \lambda \cdot (\mu v) & \text{(Assoziativität)} \\ \text{(V8)} \quad & 1 \cdot v = v & \text{(Neutrales Element)} \end{aligned}

Beispiel

Der Standardvektorraum ℝⁿ

Das wichtigste Beispiel ist der Vektorraum ℝⁿ der n-Tupel reeller Zahlen:

\mathbb{R}^n = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} : x_i \in \mathbb{R} \right\}

Mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation:

\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix}, \quad \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \vdots \\ \lambda x_n \end{pmatrix}

Zusammenfassung

Ein Vektorraum ist eine Menge mit Addition und Skalarmultiplikation
Er muss 8 Axiome erfüllen (V1-V8)
ℝⁿ ist das Standardbeispiel für einen Vektorraum
Der zugrundeliegende Körper K beeinflusst die Struktur

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche der folgenden Mengen bildet mit den üblichen Operationen einen ℝ-Vektorraum?

Die Menge aller Polynome vom Grad genau 3

Die Menge aller Polynome vom Grad höchstens 3

Die Menge aller positiven reellen Zahlen

Die Menge {0, 1}

Aufgabe 2Freitext

Beweise, dass in einem Vektorraum gilt: 0 · v = 0 für alle v ∈ V.